一般形式琴生不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。测度论的版本假设μμ-->{\displaystyle\mu}是集合ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}的正测度，使得μμ-->(ΩΩ-->)=1{\displaystyle\mu(\Omega)=1}。若g{\displaystyleg}是勒贝格可积的实值函数，而φφ-->{\displaystyle\varphi}是在g{\displaystyleg}的值域上定义的凸函数，则概率论的版本以概率论的名词，μμ-->{\displaystyle\mu}是个概率测度。函数g{\displaystyleg}换作实值随机变数X{\displaystyleX}（就纯数学而言，两者没有分别）。在ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}空间上，任何...

向量因为上式等同c≤≤-->b+a{\displaystylec\leqb+a}。（其中a,b,c为任意三角形的其中三边）实数|a+b|≤≤-->|a|+|b|{\displaystyle\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|}证明：考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：对于(a0)∨∨-->(b0){\displaystyle(a0)\lor(b0)}(即a,b彼此异号)，2ab<|2ab|{\displaystyle2ab对于(a,b≤≤-->0)∨∨-->(a,b≥≥-->0){\displaystyle(a,b\leq0)\lor(a,b\geq0)}(即a,b彼此同号)，2ab=|2ab|{\displaystyle2ab=\left|2ab\righ...

备注在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。如果1≤p，q<∞，那么||f||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：如果p=∞，那么||f||∞表示|f|的本性上确界，||g||∞也类似。在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着0。把a>0乘以∞，则得出∞。证明赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。如果||f||p=0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。如果||f||p=∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。如果p=∞且q=1，那么几乎处处有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我...

叙述柯西-施瓦茨不等式叙述，对于一个内积空间所有向量x和y，其中⟨⟨-->⋅⋅-->,⋅⋅-->⟩⟩-->{\displaystyle\langle\cdot,\cdot\rangle}表示内积，也叫点积。等价地，将两边开方，引用向量的范数，不等式可写为另外，等式成立当且仅当x和y线性相关（或者在几何上，它们是平行的，或其中一个向量的模为0）。若x1,……-->,xn∈∈-->C{\displaystylex_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{C}}和y1,……-->,yn∈∈-->C{\displaystyley_{1},\ldots,y_{n}\in\mathbb{C}}有虚部，内积即为标准内积，用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数，甚至是满足1阶利普希茨条...

叙述经典形式设p是一个大于等于1的实数，n是一个正整数。ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是n维欧几里得空间Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}上的一个子集开子集，并且其边界是满足利普希兹条件的区域（也就是说它的边界是一个利连续函数续函数的图像）。在这种情况下，存在一个只与ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}常数p有关的常数C，使得对索伯列夫空间W1,p(ΩΩ-->){\displaystyle\mathbb{W}^{1,p}(\Omega)}中所有的函数u，都有：其中的∥∥-->⋅⋅-->∥∥-->Lp{\displaystyle\|\cdot\|_{L^{p}}}指的是Lp空间之中的范数，是函数u在定义域ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}上的平均值，而|ΩΩ-->...