定义

一个由某类适宜的范畴（例如阿贝尔群、向量空间或模，详如后述）中的对象与态射构成的序列

被称作在A{\displaystyle A}处正合，当且仅当

一般而言，该范畴中的序列

被称作是正合的，当且仅当它在A2{\displaystyle A_{2}}、A3{\displaystyle A_{3}}、⋯ ⋯ -->An− − -->1{\displaystyle \cdots A_{n-1}}处正合。类似定义可以推广至没有端点的无穷序列。

为了探讨序列的正合性，范畴中必须能构造一个态射的像Im{\displaystyle \mathrm {Im} }与核 Ker{\displaystyle \mathrm {Ker} }，并确保这两种构造具备在阿贝尔群、向量空间或模的情形一样的范畴论性质。处理这类问题的框架是阿贝尔范畴，以下考虑的范畴如未说明皆为阿贝尔范畴。

例子

序列

序列

对任何态射f: : -->A→ → -->B{\displaystyle f\colon A\to B}，以下序列都是正合的

短正合序列

一个具下述形式的正合序列

称作短正合序列。

分裂短正合序列

若以下任一等价条件成立，则称短正合序列0⟶ ⟶ -->A′⟶ ⟶ -->fA⟶ ⟶ -->gA″⟶ ⟶ -->0{\displaystyle 0\longrightarrow A"{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A""\longrightarrow 0}分裂：

g{\displaystyle g}有截面（即存在s:A″→ → -->A{\displaystyle s:A""\rightarrow A}使得g∘ ∘ -->s=idA″{\displaystyle g\circ s=\mathrm {id} _{A""}}）

f{\displaystyle f}有缩回（即存在r:A→ → -->A′{\displaystyle r:A\rightarrow A"}使得r∘ ∘ -->f=idA′{\displaystyle r\circ f=\mathrm {id} _{A"}}）

该短正合序列同构（在链复形的意义下）于

对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证A{\displaystyle A}可以表为A′{\displaystyle A"}与A″{\displaystyle A""}的半直积；例如我们可考虑群同态

其中S3{\displaystyle S_{3}}是3次对称群。Z/3Z→ → -->S3{\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}}由nmod3⟼ ⟼ -->(123)n{\displaystyle n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}}给出，它的像是交代群A3{\displaystyle A_{3}}，商为Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }；但S3{\displaystyle S_{3}}无法分解成Z/3Z× × -->Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }。

将正合序列拆解为短正合序列

正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

设

其中2≤ ≤ -->n≤ ≤ -->4{\displaystyle 2\leq n\leq 4}，这就给出了一个短正合序列

一般而言，设A∙ ∙ -->{\displaystyle A_{\bullet }}为链复形，我们同样定义Zn:=Ker(An→ → -->An+1){\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})}；此时链复形的正合性等价于所有短链0→ → -->Zn→ → -->An→ → -->Zn+1→ → -->0{\displaystyle 0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0}的正合性。

推广

给定一个短正合序列

有时也称A{\displaystyle A}为A″{\displaystyle A""}经由A′{\displaystyle A"}的扩张。

详阅条目Ext函子与群上同调。

长正合序列

更多资料：同调

若有链复形的短正合序列：

反复运用蛇引理，可以导出正合序列

对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是Hn(C″∙ ∙ -->)→ → -->Hn+1(C′∙ ∙ -->){\displaystyle H^{n}(C""^{\bullet })\to H^{n+1}(C"^{\bullet })}。这类序列称作长正合序列，它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。

参见

正合函子

链复形

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