转换至广义坐标

完整约束方程只跟位置、时间有关，跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量xd{\displaystyle x_{d}}是完整约束函数fi{\displaystyle f_{i}}的一个参数，则可以将xd{\displaystyle x_{d}}从系统里所有的方程中消除。首先，必须求出xd{\displaystyle x_{d}}的函数gi{\displaystyle g_{i}}：

将函数gi{\displaystyle g_{i}}代入系统里所有提到xd{\displaystyle x_{d}}的方程，就可以消除相关变量xd{\displaystyle x_{d}}。

假设一个物理系统原本的自由度是N{\displaystyle N}。现在，新设定h{\displaystyle h}个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为m=N− − -->h{\displaystyle m=N-h}。可以使用m{\displaystyle m}个独立广义坐标(q1, q2, … … -->, qm){\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})}来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

微分形式

有些时候，一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示，而不是以上述函数形式。思考第i{\displaystyle i}个约束条件的微分形式的方程：

其中，cij{\displaystyle c_{ij}}，ci{\displaystyle c_{i}}分别为微分dqj{\displaystyle dq_{j}}与dt{\displaystyle dt}的系数。

假若此约束方程是可积分的，也就是说，存在有一个函数fi(q1, q2, q3, … … -->, qN, t)=0{\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0}的全微分满足相等关系式

则此约束条件是完整约束；否则，此约束条件是非完整约束。请注意到，所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程；但是，并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束条件的微分形式的方程，这约束条件到底是完整约束，还是非完整约束，需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。

系统分类

为了要有条不紊地研究经典力学，必须有一个合理的分类制度。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一，就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如，假若一个物理系统是完整系统与单演系统，则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理。

实例

简单摆

一个简单摆的摆锤遵守完整约束

其中，(x, y){\displaystyle (x,\ y)}是摆锤的位置，L{\displaystyle L}是摆长。

刚体内部的粒子们遵守完整约束

其中，ri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} , rj{\displaystyle \mathbf {r} _{j}}分别是粒子Pi{\displaystyle P_{i}}与Pj{\displaystyle P_{j}}的位置，Lij{\displaystyle L_{ij}}是它们之间的距离。

参阅

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