例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若f是一个函数，那么f的反函数记作f, 是给出下面方程解的函数

用x表示y。这个解是

直观地，通过交换f自变量和应变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于y的解

例子

对数函数ln(x) 给出方程x − e = 0或等价的x = e的解 y = ln(x)。 这里 f(y) = e 并且 f(x) = ln(x)。

朗伯W函数则可以解出 x − ye = 0的y值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 x{\displaystyle x} 的代数函数给出一个方程中 y{\displaystyle y} 的解。

其中系数 ai(x){\displaystyle a_{i}(x)} 为 x{\displaystyle x} 的多项式函数。

代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色，我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例：

那么 y{\displaystyle y} 的显函数解显然是：

但其实我们不一定要把它的显函数解写出来，它也可以直接利用隐函数来表达。

对于y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（参见阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隐函数的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把1元隐函数y=g(x){\displaystyle y=g(x)}看作2元函数f(x,y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}，若欲求dydx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}，对f{\displaystyle f}取全微分，可得df(x,y)=fxdx+fydy=0{\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}，经过移项可得dydx=− − -->fxfy{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}

（式中fx{\displaystyle f_{x}}表示f(x,y){\displaystyle f(x,y)}关于x{\displaystyle x}的偏导数∂ ∂ -->f∂ ∂ -->x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}，以此类推）。

把2元隐函数y=g(x,z){\displaystyle y=g(x,z)}看作3元函数f(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0}，若欲求∂ ∂ -->y∂ ∂ -->x{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}，对f{\displaystyle f}取全微分，可得df(x,y,z)=fxdx+fydy+fzdz=0{\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0} 。

由于所求为∂ ∂ -->g(x,z)∂ ∂ -->x{\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}}，令z为常数，即dz=0{\displaystyle dz=0}，经过移项可得∂ ∂ -->y∂ ∂ -->x=− − -->fxfy{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}

方法二

针对1元隐函数，把y{\displaystyle y}看作x{\displaystyle x}的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对x{\displaystyle x}求导，再通过移项求得dydx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}的值。

针对2元隐函数，把y,z{\displaystyle y,z}看作x{\displaystyle x}的函数，利用链式法则在隐函数等式两边分别对x{\displaystyle x}求导，令dz=0{\displaystyle dz=0}，再通过移项求得∂ ∂ -->y∂ ∂ -->x{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}的值。

示例

针对yn{\displaystyle y^{n}}：

ddxyn=n⋅ ⋅ -->yn− − -->1dydx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}}

针对xmyn{\displaystyle x^{m}y^{n}}：

ddxxmyn=n⋅ ⋅ -->xmyn− − -->1dydx+m⋅ ⋅ -->xm− − -->1yn{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}}

求 12x7− − -->7x4y3+6xy5− − -->14y6+25=10{\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}中y对x的导数。

为了方便辨别相应的导数部分，各项都以不同颜色分开（常数则以黑色表示）。

12x7− − -->7x4y3+6xy5− − -->14y6+25=10{\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10}

1.两边皆取其相应的导数，得出

12⋅ ⋅ -->7x6− − -->7(3x4y2dydx+4x3y3)+6(5xy4dydx+y5)− − -->14⋅ ⋅ -->6y5dydx+0=0{\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0}

2.移项处理。

84x6− − -->28x3y3+6y5=21x4y2dydx− − -->30xy4dydx+84y5dydx{\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}}

3.提出导数因子。

84x6− − -->28x3y3+6y5=(21x4y2− − -->30xy4+84y5)(dydx){\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)}

4.移项处理。

dydx=84x6− − -->28x3y3+6y521x4y2− − -->30xy4+84y5{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}}

5.完成。得出其导数为84x6− − -->28x3y3+6y521x4y2− − -->30xy4+84y5{\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}}。

6.选择性步骤：因式分解。

dydx=2(42x6− − -->14x3y3+3y5)3y2(7x4− − -->10xy2+28y3){\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}}

参见

反函数

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