概要TCG和一般的卡片游戏不同，各个玩家自由地、或根据规则将卡片做变化组合（组过的卡片组称为“牌组”），为2个人以上对战的游戏。原则上牌组属于个人所有，持有者相异的卡片或牌组在游戏时不能混合使用。1个种类的TCG通常存在有100种以上卡片（详细后述），并且依其后所发售的卡片将使得规模变得更大。一般而言，将后来贩售的追加卡片组进牌组里，会变得更有利于游戏。为了提升玩家的强化意欲也会举办定期的比赛。因此玩家在新卡片发售后收集并使用这些卡片强化自己的牌组用以打败对手。TCG多半会对卡片设定不同的稀有度（Rarity）。游戏主干的基本效果卡其稀有度低，具有强力、或复杂效果的卡片其稀有度高。结合了游戏性与收集性质的这种系统在商业上展现出了高度的可能性，更有像后述的《魔法风云会》一般，设定了复杂的规则，并且举办国际比赛的TCG。历史交换卡片由于其观赏性质，多半是以收集本身为目的，后来作为扑克牌、UNO...

卡片游戏，是任何使用卡片作为主要设备进行游戏的游戏，无论是传统的还是特定的游戏。存在无数的卡片游戏，包括相关游戏体系（比如扑克）。少数传统的卡片游戏有正式的标准化规则，但大多数是民间游戏，规则因地区、文化和人物而异。使用卡片游戏利用这样一个事实：牌只能从一方单独识别，这样每个玩家只知道他持有的牌，而不知道其他人持有的牌。因此，卡片游戏通常被描述为机会游戏或“不完全信息”游戏，与策略游戏或“完全信息”游戏不同，后者的当前位置在整个游戏中对所有玩家都是完全可见的。许多不属于卡片游戏家族的游戏实际上都是在游戏的某些方面使用纸牌。类似地，一些放置在卡片游戏类型中的游戏涉及到棋盘。区别在于，卡片游戏的玩法主要取决于玩家对纸牌的使用（纸牌只是记分或放置纸牌的指南），而图版游戏（使用纸牌的主要非纸牌游戏类型）通常关注玩家在纸牌上的位置，并将纸牌用于某些次要目的。PlayingCards主要文章：游戏牌卡...

历史埃尔温长久致力于将数学和围棋官子结合起来的研究，在1990年代设计此游戏。第一次有记录的职业棋手比赛于1998年4月21日在加州门罗公园进行，选手是江铸久、芮乃伟夫妻。规则使用40张Coupon，最大的面值是20，每一张递减0.5。结果是江铸久赢半目。随后几个月，埃尔温与助手BillFraser以及BillSpight分析了这场比赛的最后64手，使用复杂的数学模型以及强大的电脑程序辅助分析。棋盘上有子的点被自然划分为若干区域，其中有些区域被命名为北方、东方、西方、极南、中南等。在棋盘的北方，大约了两万种走法被输入到电脑程序中进行分析。江铸久和芮乃伟参加多次讨论。最后研究人员得出结论，这场比赛实际上非常接近。研究结果最后由BillSpight在2002年发表在剑桥大学出版社期刊《MoreGamesofNoChance》上。1999年，江铸久夫妻到韩国下棋后，还应埃尔温的邀请在伯克利大学一...

一般用法交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。数学定义“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中：1.在集合S的一二元运算*被称之为“可交换”的，若：一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。2.若称x在*下和y“可交换”，即表示：3.一二元函数f:A×A→B被称之为“可交换”的，若：历史对这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18

定义与例子定义更多资料：环环是一个集合R带有两个二元运算，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作+与⋅，例如a+b与a⋅b。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下是一个阿贝尔群，在乘法下为一个幺半群，使得乘法对加法有分配律，即a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)。关于加法与乘法的单位元素分别记作0和1。另外如果乘法也是交换的，即环R称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。例子一个重要的例子，在某种意义下是最关键的，是带有加法与乘法两个运算的整数环Z。因为整数乘法是一个交换运算，这是一个交换环。通常记作Z，是德语词Zahlen（数）的缩写。一个域是每个非零元素a是可逆的交换环，即有一个乘法逆b使得a⋅b=1。从而，由定义知任何域是一个交换环。有理数、实数、复数都是域。2×2的矩阵不是交换的，因为矩阵乘法不满足交换律，如下例所示：但是