方程的推导

表达式的证明

如右图，设最低点A{\displaystyle A}处受水平向左的拉力H{\displaystyle H}，右悬挂点处表示为C{\displaystyle C}点，在AC{\displaystyle AC}弧线区段任意取一段设为B{\displaystyle B}点，则B受一个斜向上的拉力T{\displaystyle T}，设T{\displaystyle T}和水平方向夹角为θ θ -->{\displaystyle \theta }，绳子的质量为m{\displaystyle m},受力分析有： 注释 注释

Tsin⁡ ⁡ -->θ θ -->=mg{\displaystyle T\sin \theta =mg}；

Tcos⁡ ⁡ -->θ θ -->=H{\displaystyle T\cos \theta =H}，

tanθ θ -->=dydx=mgH{\displaystyle tan\theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}}，

mg=ρ ρ -->s{\displaystyle mg=\rho s}，　其中s{\displaystyle s}是右段AB{\displaystyle AB}绳子的长度，ρ ρ -->{\displaystyle \rho }是绳子线重量密度，代入得微分方程dydx=ρ ρ -->sH{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\rho s}{H}}};利用弧长公式ds=1+dy2dx2dx{\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}\mathrm {d} x};所以s=∫ ∫ -->1+dy2dx2dx{\displaystyle s=\int {\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}\mathrm {d} x};

所以把s{\displaystyle s}代入微分方程得dydx=ρ ρ -->∫ ∫ -->1+dy2dx2dxH ⋯ ⋯ -->⋯ ⋯ --> (1){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\rho \int {\sqrt {1+{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} x}{H}}\ \cdots \cdots \ (1)}

对于(1){\displaystyle (1)}设p=dydx{\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}微分处理

得 p′=ρ ρ -->H1+p2 ⋯ ⋯ -->⋯ ⋯ --> (2){\displaystyle p"={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}

p′=dpdx=d2ydx2{\displaystyle p"={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}};

对(2)分离常量求积分

∫ ∫ -->dp1+p2=∫ ∫ -->ρ ρ -->dxH{\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int {\frac {\rho dx}{H}}}

得ln(p+1+p2)=ρ ρ -->x+CH{\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})={\frac {\rho x+C}{H}}}，即asinhp（反双曲正弦）=ρ ρ -->x+CH{\displaystyle {\frac {\rho x+C}{H}}}

当x=0时，dydx=p=0{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0}；带入得C=0；

整理得asinhp=ρ ρ -->xH{\displaystyle {\frac {\rho x}{H}}} 另详解：（ln⁡ ⁡ -->[p+1+p2]=ρ ρ -->xH{\displaystyle \ln[p+{\sqrt {1+p^{2}}}]={\frac {\rho x}{H}}}）；

p=sh(ρ ρ -->xH){\displaystyle p=sh({\frac {\rho x}{H}})}（1+p2=e2ρ ρ -->xH− − -->2peρ ρ -->xH+p2{\displaystyle 1+p^{2}=e^{\frac {2\rho x}{H}}-2pe^{{\frac {\rho }{x}}{H}}+p^{2}}）；

(p=[e(ρ ρ -->xH)− − -->e(− − -->ρ ρ -->xH)]/2=dydx{\displaystyle p=[e^{(}{\frac {\rho x}{H}})-e^{(}-{\frac {\rho x}{H}})]/2={\frac {dy}{dx}}})；

y=ch(ρ ρ -->xH)H÷ ÷ -->ρ ρ -->{\displaystyle y=ch({\frac {\rho x}{H}})H\div \rho }（y=H2ρ ρ -->eρ ρ -->xH+eρ ρ -->xH]{\displaystyle y={\frac {H}{2\rho }}e^{\frac {\rho x}{H}}+e^{\frac {\rho x}{H}}]}）；

令a=(Hρ ρ -->){\displaystyle a=({\frac {H}{\rho }})}： y=a∗ ∗ -->cosh(xa){\displaystyle y=a*cosh({\frac {x}{a}})}

(y=a[e(x/a)+e(− − -->x/a)]/(2)=a∗ ∗ -->cosh(x/a)){\displaystyle (y=a[e^{(x/a)}+e^{(-x/a)}]/(2)=a*cosh(x/a))}。

工程中的应用

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，a{\displaystyle a}称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

还有以下几个公式，可能也有用：

其中L{\displaystyle L}是曲线中某点到0点的链索长度，α α -->{\displaystyle \alpha }是该点的正切角，F0{\displaystyle F_{0}}是0点处的水平张力，γ γ -->{\displaystyle \gamma }是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

参见

曳物线

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