公理化定义

给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

向量加法： + : V × V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；

标量乘法： · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。而V装备的两个运算满足下面的公理（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w,

向量加法交换律：u + v = v + u，

存在向量加法的单位元：V里存在一个叫做零向量的元素，记作0，使得对任意u ∈ V，都有u +0 = u，

向量加法的逆元素：对任意u ∈ V，都存在v ∈ V,使得u + v = 0。

标量乘法对向量加法满足分配律：a· (v + w) = a·v +a·w.

标量乘法对域加法满足分配律：(a + b) ·v = a·v +b·v.

标量乘法与标量的域乘法相容：a(b·v) = (ab) ·v.

标量乘法有单位元：域F的乘法单位元“1”满足：对任意v，1 ·v = v。

前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，向量空间是一个F−模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

零向量0是唯一的；

对任意a ∈ F，a·0 = 0；

对任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法单位元）。

如果a·u = 0，则要么a = 0，要么u = 0。

向量加法的逆向量v是唯一的，记作− v。u + (− v)也可以写成u − v，两者都是标准的。

对任意u ∈ V，−1 ·u = − u.

对任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a·u) = a· (− u).

例子

对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。

最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

u + (v + w) = (u + v) + w，

v + w = w + v，

零元存在：实数0满足：对任何的实数v，v + 0 = v，

逆元素存在：对任何的实数v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。

标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = av+a w.

向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = av+bv.

标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。

标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点P{\displaystyle P}都有一个坐标P(x,y){\displaystyle P(x,y)}，并对应着一个向量(x,y){\displaystyle (x,y)}。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x,y){\displaystyle (x,y)}。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝ也是向量空间的例子。其中的向量表示为v=(a1,a2,⋯ ⋯ -->,an){\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}，其中的a1,a2,⋯ ⋯ -->,an{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合R[X]{\displaystyle \mathbb {R} [X]}。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，R[X]{\displaystyle \mathbb {R} [X]}也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合C(R,R){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

如果(x1,y1,z1){\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}和(x2,y2,z2){\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}都是解，那么可以验证它们的“和”(x1+x2,y1+y2,z1+z2){\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}也是一组解，因为：

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

出于和上面类似的理由，方程的两个解f1{\displaystyle f_{1}}和f2{\displaystyle f_{2}}的和函数f1+f2{\displaystyle f_{1}+f_{2}}也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空间基底

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间0{\displaystyle {0}}。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性无关子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：B={e1,e2,⋯ ⋯ -->,en,⋯ ⋯ -->}{\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}}，那么空间中的每一个向量v便可以通过坐标系统来呈现：

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中， ℝ的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基B={e1,e2,⋯ ⋯ -->,en}{\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}}，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

那么v可以用数组v=(λ λ -->1,λ λ -->2,⋯ ⋯ -->,λ λ -->n){\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

可以证明，存在从任意一个n维的F{\displaystyle \mathbf {F} }-向量空间到空间Fn{\displaystyle \mathbf {F} ^{n}}的双射。这种关系称为同构。

线性映射

给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

所有线性变换的集合记为L(V,W){\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，L(V,W){\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构f:V→ → -->W{\displaystyle f:\,V\rightarrow W}，那么其逆映射g:W→ → -->V{\displaystyle g:\,W\rightarrow V}也存在，并且对所有的x∈ ∈ -->V,y∈ ∈ -->W{\displaystyle x\in V,\,y\in W}，都有：

概念化及额外结构

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。

一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。

一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。

一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

参考文献

《中国大百科全书》

Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.

Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.

Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum"s Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.

Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica22 (1995), no. 3, 262-303.

Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8

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