形式定义

设 ( R , + , × × --> ) {\displaystyle \left({\mathcal {R}},+,\times \right)} 是一个交换环，存在 e ∈ ∈ --> R {\displaystyle e\in {\mathcal {R}}} ， e ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle e\neq 0} （0为加法单位元），使得

并且对任意的 a , b ∈ ∈ --> R {\displaystyle a,b\in {\mathcal {R}}} ，如果 a × × --> b = 0 {\displaystyle a\times b=0} ，那么或者 a = 0 {\displaystyle a=0} ，或者 b = 0 {\displaystyle b=0} 。用数学方式表示为：

就称其为整环 。

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的 消去律 替代：如果 a × × --> c = b × × --> c {\displaystyle a\times c=b\times c} ，并且 c ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle c\neq 0} ，那么 a = b {\displaystyle a=b} 。用数学方法表示就是：

例子

整环的代表性例子是整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 。 ( Z , + , × × --> ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\times )} 是一个交换环，并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后，两个整数相乘等于0，则必然有其中一个等于0。

多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环 Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} 和实系数二元多项式环 R [ X , Y ] {\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]} 。

每个域都是整环 。相对的，每个阿廷整环都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 就是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：

对每个整数 n > 0 {\displaystyle n>0} ， Z + n Z {\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z} } 是实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的子环，因此是整环。 Z + i n Z {\displaystyle \mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z} } 是复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的子环，因此是整环。当 n = 1 {\displaystyle n=1} 时高斯者被称为高斯整数环。

若 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 是一个交换环， P {\displaystyle P} 是 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 的一个理想，那么商环 R / P {\displaystyle ^{\mathcal {R}}/_{P}} 是整环当且仅当 P 是 素理想 。由此可推出 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 是整环当且仅当 { 0 } = R / R {\displaystyle \{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}} 是 素理想 。

整除、素元、既约元

在整环上可以定义类似于整数环里的 整除 性质。

a 与 b 是 R 中的两个元素，定义 a 整除 b 或 a 是 b 的约数或 b 是 a 的 倍数 ，当且仅当存在 R 中的一个元素 x 使得 ax = b 。

整除关系满足传递性，即 a 整除 b ， b 整除 c 推出 a 整除 c 。 a 整除 b ，则 a 整除 b 的所有倍数。 a 的两个倍数的和与差仍是 a 的倍数。

1的约数称为 R 的 可逆元 。可逆元整除所有元素。

若 a 整除 b 并且 b 整除 a ，则称 a 与 b 相伴 。 a 与 b 相伴当且仅当存在可逆元 u 使得 au = b 。

非可逆元 q 称为 既约元 ，如果 q 不能写成两个非可逆元的乘积。

如果 p 不是零元或可逆元，且对任意 a，b ，如果 p 整除 ab 可推出 p 整除 a 或 p 整除 b ，则称 p 为 素元 。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果 p 是素元，那么 p 生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当 R 是唯一分解环才正确。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。