定义

若 G {\displaystyle \mathrm {G} } 为一个群而 X {\displaystyle \mathrm {X} } 为一个集合，则 G {\displaystyle \mathrm {G} } 在 X {\displaystyle \mathrm {X} } 上的一个(左) 群作用 是一个二元函数

(其中 g ∈ ∈ --> G {\displaystyle g\in \mathrm {G} } 和 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 的像写作 g ⋅ ⋅ --> x {\displaystyle g\cdot x} )，满足如下两条公理：

( g h ) ⋅ ⋅ --> x = g ⋅ ⋅ --> ( h ⋅ ⋅ --> x ) {\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)} 对于所有 g , h ∈ ∈ --> G {\displaystyle g,h\in \mathrm {G} } 和 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 成立

e ⋅ ⋅ --> x = x {\displaystyle e\cdot x=x} 对于每个 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 成立 ( e {\displaystyle e} 代表 G {\displaystyle \mathrm {G} } 的幺元)

从这两条公理，可以得出对于每个 g ∈ ∈ --> G {\displaystyle g\in \mathrm {G} } ，映射 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 到 g ⋅ ⋅ --> x {\displaystyle g\cdot x} 的函数是一个双射，从 X {\displaystyle \mathrm {X} } 映射到 X {\displaystyle \mathrm {X} } 。因此，也可以将 G {\displaystyle \mathrm {G} } 在 X {\displaystyle \mathrm {X} } 上的群作用定义为从 G {\displaystyle \mathrm {G} } 到对称群 S X {\displaystyle S_{X}} 的群同态。

若群作用 G × × --> X → → --> X {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} } 给定，我们称“G作用于集合X”或者 X 是一个 G -集合 。

完全一样地，可以定义一个 G 在 X 上的 右群作用 为函数 X × × --> G → → --> X {\displaystyle \mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} } ，满足以下公理：

x ⋅ ⋅ --> ( g h ) = ( x ⋅ ⋅ --> g ) ⋅ ⋅ --> h {\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}

x ⋅ ⋅ --> e = x {\displaystyle x\cdot e=x}

注意左和右作用的区别仅在于象 gh 这样的积在 x 上作用的次序。对于左作用 h 先作用然后是 g ，而对于右作用 g 先作用然后是 h 。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果 r 为一右作用，则

是一左作用，因为

而

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。