生成元与关系

抽象言之，首先考虑 n{\displaystyle n} 阶循环群Cn{\displaystyle C_{n}}。反射 τ τ -->:x↦ ↦ -->x− − -->1{\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}} 是 Cn{\displaystyle C_{n}} 上的自同构，而且 τ τ -->2=id{\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}}。定义二面体群为半直积

任取 Cn{\displaystyle C_{n}} 的生成元 σ σ -->{\displaystyle \sigma }，D2n{\displaystyle D_{2n}} 由 σ σ -->,τ τ -->{\displaystyle \sigma ,\tau } 生成，其间的关系是

D2n{\displaystyle D_{2n}} 的元素均可唯一地表成 σ σ -->kτ τ -->h{\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}}，其中 0≤ ≤ -->k<n{\displaystyle 0\leq k，h=0,1{\displaystyle h=0,1\,}。

几何诠释

n=5 的情形：反射对称

n=5 的情形：旋转对称

二面体群也可以诠释为二维正交群O(2){\displaystyle O(2)} 中由

生成的子群。由此不难看出 D2n{\displaystyle D_{2n}} 是正 n 边形的对称群。

性质

D2n{\displaystyle D_{2n}} 的中心在 n{\displaystyle n} 为奇数时是 {e}{\displaystyle \{e\}}，在 n{\displaystyle n} 为偶数时是 {e,σ σ -->n/2}{\displaystyle \{e,\sigma ^{n/2}\}}。

当 n{\displaystyle n} 为奇数时，D4n{\displaystyle D_{4n}} 同构于 D2n{\displaystyle D_{2n}} 与二阶循环群的直积。同构可由下式给出：

其中 h,ϵ ϵ -->=0,1{\displaystyle h,\epsilon =0,1}，0≤ ≤ -->k<n{\displaystyle 0\leq k。

当 n{\displaystyle n} 为奇数时，D2n{\displaystyle D_{2n}} 的所有反射（即：二阶元素）彼此共轭；当 n{\displaystyle n} 为偶数，则反射元在共轭作用下分解成两个轨道；从几何方面解释，二者差意在于反射面是否通过正 n{\displaystyle n} 边形的顶点。

若 m|n{\displaystyle m|n}，则 D2m≤ ≤ -->D2n{\displaystyle D_{2m}\leq D_{2n}}，由此可导出 D2n{\displaystyle D_{2n}} 共有 d(n)+σ σ -->(n){\displaystyle d(n)+\sigma (n)} 个子群，其中的算术函数d(n){\displaystyle d(n)} 与 σ σ -->(n){\displaystyle \sigma (n)} 分别代表 n{\displaystyle n} 的正因数个数与正因数之和。

表示

当 n{\displaystyle n} 为奇数时，Dn{\displaystyle D_{n}} 有两个一维不可约表示：

当 n{\displaystyle n} 为偶数时，Dn{\displaystyle D_{n}} 有四个一维不可约表示：

e{\displaystyle e}σ σ -->{\displaystyle \sigma }σ σ -->2{\displaystyle \sigma ^{2}}σ σ -->3{\displaystyle \sigma ^{3}}σ σ -->4{\displaystyle \sigma ^{4}}σ σ -->5{\displaystyle \sigma ^{5}}σ σ -->6{\displaystyle \sigma ^{6}}σ σ -->7{\displaystyle \sigma ^{7}}τ τ -->{\displaystyle \tau }σ σ -->τ τ -->{\displaystyle \sigma \tau }σ σ -->2τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{2}\tau }σ σ -->3τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{3}\tau }σ σ -->4τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{4}\tau }σ σ -->5τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{5}\tau }σ σ -->6τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{6}\tau }σ σ -->7τ τ -->{\displaystyle \sigma ^{7}\tau }正八边形的停车标志在D8{\displaystyle D_{8}}的群作用下的结果

其余不可约表示皆为二维，共有 ⌊ ⌊ -->n/2⌋ ⌋ -->{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 个，形如下式：

其中 ω ω -->{\displaystyle \omega } 是任一 n 次本原单位根，h{\displaystyle h} 过 Z/nZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }。由 h1,h2{\displaystyle h_{1},h_{2}} 给出的表示相等价当且仅当 h1+h2≡ ≡ -->0modn{\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n}。

文献

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