起源

群论中的指导思想之一，是研究群 G{\displaystyle G} 及其表示的关系。群 G{\displaystyle G} 的表示是 G{\displaystyle G}-模的特例：一个 G{\displaystyle G}-模是一个阿贝尔群M{\displaystyle M} 配上 G{\displaystyle G} 在 M{\displaystyle M} 上的群作用G→ → -->End(M){\displaystyle G\to \mathrm {End} (M)}。等价的说法是：M{\displaystyle M} 是群环Z[G]{\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 上的模。通常将 G{\displaystyle G} 的作用写成乘法 m↦ ↦ -->gm{\displaystyle m\mapsto gm}。全体 G{\displaystyle G}-模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 G{\displaystyle G}-模 G{\displaystyle G}，最重要的子群之一是其 G{\displaystyle G}-不变子群

若 N⊂ ⊂ -->M{\displaystyle N\subset M} 是一个 G{\displaystyle G}-子模（即：是 M{\displaystyle M} 的子群，且在 G{\displaystyle G} 的作用下不变），则 M/N{\displaystyle M/N} 上赋有自然的 G{\displaystyle G}-模结构，NG⊂ ⊂ -->MG{\displaystyle N^{G}\subset M^{G}}，但是未必有 (M/N)G=MG/NG{\displaystyle (M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}}。第一个群上同调群 H1(G,N){\displaystyle H^{1}(G,N)} 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 Hn(G,− − -->){\displaystyle H^{n}(G,-)}，其间关系可以由长正合序列表示。

形式建构

以下假设 G{\displaystyle G} 为有限群，全体 G{\displaystyle G}-模构成阿贝尔范畴，其间的态射 HomG(M,N){\displaystyle \mathrm {Hom} _{G}(M,N)} 定义为满足 f(gx)=gf(x){\displaystyle f(gx)=gf(x)} 的群同态 f:M→ → -->N{\displaystyle f:M\to N}。由于此范畴等价于 Z[G]{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}-模范畴，故有充足的内射对象。

函子 M→ → -->MG{\displaystyle M\to M^{G}} 是从 G{\displaystyle G}-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 Hn(G,M){\displaystyle H^{n}(G,M)} 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

H0(G,M)=MG{\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}

长正合序列：若 0→ → -->M′→ → -->M→ → -->M″→ → -->0{\displaystyle 0\to M"\to M\to M""\to 0} 为 G{\displaystyle G}-模的短正合序列，则导出相应的长正合序列

在上述定义中，若固定一个域 k{\displaystyle k}，并以 k[G]{\displaystyle k[G]} 代替 Z[G]{\displaystyle \mathbb {Z} [G]}，得到的上同调群依然同构。

标准分解

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 MG=HomG(Z,M){\displaystyle M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}，其中 Z{\displaystyle \mathbb {Z} } 被赋予平凡的 G{\displaystyle G} 作用：gx=x{\displaystyle gx=x}，故群上同调可以用Ext函子表达为

另一方面，G{\displaystyle G}-模范畴中也有充足的射影对象，若取一 Z{\displaystyle \mathbb {Z} } 的射影分解 0← ← -->Z← ← -->P∙ ∙ -->{\displaystyle 0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }}，则有自然的同构 Exti(Z,M)≃ ≃ -->Hi(Hom(P∙ ∙ -->,M)){\displaystyle \mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))}。最自然的分解是标准分解

而 L0→ → -->Z{\displaystyle L_{0}\to \mathbb {Z} } 由 g0↦ ↦ -->1{\displaystyle g_{0}\mapsto 1} 给出。

定义 Ki:=HomG(Li,M){\displaystyle K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)}，其元素为形如 f:Gi+1↦ ↦ -->M{\displaystyle f:G^{i+1}\mapsto M} 的函数，并满足 f(gg0,… … -->,ggi)=gf(g0,… … -->,gi){\displaystyle f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})}，称之为齐次上链。根据 G{\displaystyle G} 在 Li{\displaystyle L_{i}} 上的作用，这种 f{\displaystyle f} 由它在形如 (e,g1,g1g2,… … -->,g1… … -->,gi){\displaystyle (e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})} 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 Ki{\displaystyle K^{i}} 描述为

Ki{\displaystyle K^{i}} 的元素为 Gi→ → -->M{\displaystyle G^{i}\to M} 之函数。

(df)(g1,… … -->,gi+1)=g1f(g2,… … -->,gi+1)+∑ ∑ -->j=1i(− − -->1)jf(g1,… … -->,gjgj+1,… … -->,gi+1)+(− − -->1)i+1f(g1,… … -->,gi){\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})}

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 Hi(K∙ ∙ -->)=Hi(G,M){\displaystyle H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)}。

例子

较常用的上同调是 H1{\displaystyle H^{1}} 与 H2{\displaystyle H^{2}}。从标准分解可导出以下的描述：

准此要领，亦有

群同调

上述理论有一对偶版本：对于任一 G{\displaystyle G}-模 M{\displaystyle M}，定义 DM{\displaystyle DM} 为形如 gm− − -->m{\displaystyle gm-m} 的元素生成之子模。考虑从 G{\displaystyle G}-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调Hn(G,M){\displaystyle H_{n}(G,M)}。群同调可以藉Tor函子描述为

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

非阿贝尔群上同调

将上述定义中的 G{\displaystyle G}-模 M{\displaystyle M} 改成一般的群 A{\displaystyle A}（未必交换），并带有 G{\displaystyle G} 的作用 a↦ ↦ -->g(a){\displaystyle a\mapsto g(a)}（称之为 G{\displaystyle G}-群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

须留意 H0(G,A),H1(G,A){\displaystyle H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)} 并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 A{\displaystyle A} 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 1→ → -->A→ → -->B→ → -->C→ → -->1{\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1} 是 G{\displaystyle G}-群的短正合序列，则有长正合序列

若 A{\displaystyle A}落在 B{\displaystyle B} 的中心，此序列右端可再加一项 H1(G,C)→ → -->H2(G,A){\displaystyle H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)}。

性质

Res 与 Cor

若 f:H→ → -->G{\displaystyle f:H\to G} 为群同态，则可将任一 G{\displaystyle G}-模透过 f{\displaystyle f} 视为 H{\displaystyle H}-模，此运算导出上同调之间的映射

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 H{\displaystyle H} 是 G{\displaystyle G} 的子群而 f{\displaystyle f} 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 G{\displaystyle G} 为有限群，必有 (G:H){\displaystyle (G:H) ，此时映射

导出一个上限制映射 Cor:H∙ ∙ -->(H,M)→ → -->H∙ ∙ -->(G,M){\displaystyle \mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)}。

中心扩张

若 M{\displaystyle M} 是平凡的 G{\displaystyle G} 模（即 ∀ ∀ -->g∈ ∈ -->G,gm=m{\displaystyle \forall g\in G,\;gm=m}），则 H2(G,M){\displaystyle H^{2}(G,M)} 中的元素一一对应于 G{\displaystyle G} 对 M{\displaystyle M} 的中心扩张的等价类

中心扩张意谓：0→ → -->M→ → -->E→ → -->G→ → -->1{\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 1} 是群扩张，而且 M{\displaystyle M} 落在 E{\displaystyle E} 的中心内。

具体描述方法是：任取一映射 s:G→ → -->E,p∘ ∘ -->s=idG{\displaystyle s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}}。s{\displaystyle s} 不一定是群同态，但存在函数 f:G2→ → -->M{\displaystyle f:G^{2}\to M} 使得 s(g)s(g′)=f(g,g′)s(gg′){\displaystyle s(g)s(g")=f(g,g")s(gg")}。s{\displaystyle s} 及 f{\displaystyle f} 刻划了 E{\displaystyle E} 的群结构。不难验证 f∈ ∈ -->K2{\displaystyle f\in K^{2}} 满足 df=0{\displaystyle df=0}，而 s{\displaystyle s} 的选取对应于 f↦ ↦ -->f+dh,h∈ ∈ -->K1{\displaystyle f\mapsto f+dh,h\in K^{1}}，所以 f∈ ∈ -->H2(G,A){\displaystyle f\in H^{2}(G,A)} 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 f∈ ∈ -->H2(G,A){\displaystyle f\in H^{2}(G,A)} 都来自于某个中心扩张，证毕。

谱序列

若 N⊂ ⊂ -->G{\displaystyle N\subset G} 是 G{\displaystyle G} 的正规子群，则有下述谱序列

对于射影有限群，此式依然成立。

参考文献

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Milne, James,Class Field Theory, 2007 , Chapter II

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Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7,MR1324577 

Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1972, ISBN 978-0-691-08017-8,MR0347778 

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