子群的基本性质

H 是群 G 的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指：任两个在 H 内的元素 a 和 b ， ab 和 a 都为在 H 中。这两个条件可以结合成一个等价的条件：任两个在 H 内的 a 和 b ， ab 也会在 H 内。)在 H 是有限的情状下，则 H 是一个子群当且仅当 H 在乘积下为封闭的。(在此一情形下，每一个 H 的元素 a 都会产生一个 H 的有限循环子群，且 a 的逆元素会是 a = a ，其中 n 为 a 的阶。)

上述的条件可以用同态来叙述；亦即， H 为群 G 的子群当且仅当 H 为 G 的子集且存在一个由 H 映射到 G 的内含同态(即对每个 a ，i( a ) = a )。

子群的单位元亦是群的单位元：若 G 是个有单位元 e G 的群，且 H 为具有单位元 e H 之 G 的子群，则 e H = e G 。

一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素：若 H 是群 G 的子群，且 a 和 b 为会使得 ab = ba = e H 之 H 内的元素，则 ab = ba = e G 。

子群 A 和 B 的交集亦为一个子群。但其并集亦为一个子群当且仅当 A 或 B 包含着另外一个，像是2和3是在2Z与3Z的并集中，但其总和5则不是。

若 S 是 G 的子集，则存在一个包括 S 的最小子群，其可以由取得所有包括 S 的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为且称为由 S 产生的子群。 G 内的一个元素在内当且仅当其为 S 内之元素的有限乘积且其逆元。

群 G 内的每一个元素 a 都会产生一个循环子群。若&同构; a >同构于某一正整数 n 之 Z / n Z ，则 n 会是最小个会使得 a = e 的正整数，且 n 被称为是 a 的“阶”。若同构于 Z ，则 a 会被称有“无限阶”。

任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论并集“所产生”的子群。)若 e 为 G 的单位元，则其当然群{ e }会是群 G 的最小子群，而其最大子群则会是群 G 本身。

例子

有限群

G = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}} 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群： J = { 0 , 4 } {\displaystyle J=\{0,4\}} 和 H = { 0 , 2 , 4 , 6 } {\displaystyle H=\{0,2,4,6\}} ，其中 J {\displaystyle J} 亦是 H {\displaystyle H} 的子群。 H {\displaystyle H} 的凯莱表是 G {\displaystyle G} 的凯莱表之左上半部。 G {\displaystyle G} 群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群 H 和 G 内的某一元素 a ，则可定义出一个 左陪集 aH ={ ah ; h ∈ H }。因为 a 为可逆的，由φ( h ) = ah 给出之映射φ : H → aH 为一个双射。更甚地，每一个 G 内的元素都包含在恰好一个 H 的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系 a 1 ~ a 2 当且仅当 a 1 a 2 会在 H 内。 H 的左陪集之数目称之为 H 在 G 内的“指数”，并标记为[ G : H ]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群 G 和一个子群 H 而言，

其中o( G )和o( H )分别为 G 和 H 的阶。特别地是，每一个 G 的子群的阶(和每一个 G 内元素的阶)都必须为o( G )的约数。 右陪集 为相类比之定义： Ha = { ha : h ∈ H }。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[ G : H ]。

若对于每个在 G 内的 a ， aH = Ha ，则 H 称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

嘉当子群

费汀子群

稳定子群

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