符号

在实数系中，实数a的立方根通常用a3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}表示，读作“三次根号a”。所谓“三次根号”，就是在二次根号{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}的左上角加上根指数“3”。

值得注意的是，某个实数a的立方根在复数系中可能有1个，或者2个，或者3个，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数a的立方根唯一确定。习惯上，三次根号a3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}仅用来表示实数解。例如：13{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}}仅表示实数1，而不表示复数− − -->1+3i2{\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}，与− − -->1− − -->3i2{\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}。相关内容参见下文“1的立方根”。

1的立方根

即解x3=1{\displaystyle x^{3}=1\,\!}，解法如下：

将1移项至左边：x3− − -->1=0{\displaystyle x^{3}-1=0\,\!}

因式分解（立方差）：x3− − -->13=0{\displaystyle x^{3}-1^{3}=0\,\!}，(x− − -->1)(x2+x+1)=0{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)=0\,\!}

令ω ω -->=− − -->1+3i2{\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}，则ω ω -->2=− − -->1− − -->3i2{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}；反之，令ω ω -->=− − -->1− − -->3i2{\displaystyle \omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}，则ω ω -->2=− − -->1+3i2{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,\!}。由以上的式子可看出ω ω -->{\displaystyle \omega \,\!}的特性有：

ω ω -->2+ω ω -->+1=0{\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0\,\!}

ω ω -->3=1{\displaystyle \omega ^{3}=1\,\!}←将ω ω -->{\displaystyle \omega \,\!}代回x3=1{\displaystyle x^{3}=1\,\!}即求得。

故ω ω -->{\displaystyle \omega \,\!}可代表− − -->1± ± -->3i2{\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}中的任何一数，即ω ω -->{\displaystyle \omega \,\!}为1的立方虚根。

数值方法

牛顿法：xi+1=13(axi2+2xi){\displaystyle x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)}

哈雷法（英语：Halley"s method）：xi+1=xi(xi3+2a2xi3+a){\displaystyle x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)}

符号史

1220年意大利人斐波那契第一次使用“Rx”来表达立方根（“R”源于拉丁文radix的首字母，意思为“根，方根”）。

十七世纪初时，法国数学家笛卡儿(1596-1650)在他的著作几何学中第一次用“√ ￣”表示根号。“√”，即小写r的变形，“￣”则起到括号的作用。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Loubere）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}。

参见

方根

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