概述

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 改用一个新函数 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 来表示，其变数 p {\displaystyle p\,\!} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的导数， p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!} 。而 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的值是如右图蓝线在 y 轴的截距

换句话说，从 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))\,\!} x 值到 y 值的函数，转换成 ( p , f ⋆ ⋆ --> ( p ) ) {\displaystyle (p,f^{\star }(p))\,\!} f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的，因此称为勒让德变换。称函数 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 为 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒让德变换；

用方程表示

此式子表示 f ⋆ ⋆ --> ( p ) = p u − − --> f ( u ) {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)} 中的 u 对 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)} 而言是个参数，且参数 u 会满足 d [ p u − − --> f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle {{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!} 的 u {\displaystyle u} 。即求算表达式关于变数 u {\displaystyle u\,\!} 的极值。

为方便讨论，把讨论限定在 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 为严格单调递增。会有这方程是因为在 p = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle p=f"(x_{0})} 也就是斜率不变的状况下，对每个 x 0 {\displaystyle x_{0}} 而言，所有与曲线 ( u , f ( u ) ) {\displaystyle (u,f(u))} 相交且斜率为 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f"(x_{0})} 的直线族为 y = f ′ ( x 0 ) ( x − − --> u ) + f ( u ) {\displaystyle y=f"(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!} 。若令 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} ，该直线即是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知，在 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} 的情况下， y = f ′ ( x 0 ) ( x − − --> u ) + f ( u ) = f ′ ( x 0 ) x − − --> [ f ′ ( x 0 ) u − − --> f ( u ) ] {\displaystyle y=f"(x_{0})(x-u)+f(u)=f"(x_{0})x-[f"(x_{0})u-f(u)]} 值是最小的，也就是说直线方程中 [ f ′ ( x 0 ) u − − --> f ( u ) ] {\displaystyle [f"(x_{0})u-f(u)]} 这部分是最大的，而正好 f ⋆ ⋆ --> ( p ) = p u − − --> f ( u ) | d [ p u − − --> f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!} ，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 设定的函数关系可以用 ( x ,   y = f ( x ) ) {\displaystyle (x,\ y=f(x))\,\!} 点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化，则会变为勒壤得-芬伽转换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。

定义

最大值式定义

更详细地定义勒让德变换，为了求得 L ( x ,   p ) = p x − − --> f ( x ) {\displaystyle L(x,\ p)=px-f(x)\,\!} 关于 x {\displaystyle x\,\!} 的最大值，设定 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 关于 x {\displaystyle x\,\!} 的偏导数为零：

则

这表达式必为最大值。因为，凸函数 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 的二阶导数是负数：

用方程 (1) 来计算函数 f {\displaystyle f\,\!} 的反函数 x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。代入 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 方程，即可以得到想要的形式：

计算 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒让德变换，所需的步骤为：

找出导函数 p = d f d x {\displaystyle p={\frac {df}{dx}}\,\!} ，

计算导函数 p = d f d x {\displaystyle p={\frac {df}{dx}}\,\!} 的反函数 x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} ，

代入 F ( x ) {\displaystyle F(x)\,\!} 方程来求得新函数 f ⋆ ⋆ --> ( p ) = g ( p )   p − − --> f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!} 。

这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} ；其新自变数为 p = d f d x {\displaystyle p={df \over dx}\,\!} 。

反函数式定义

另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 与 f ⋆ ⋆ --> ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的一阶导数是互相的反函数；

或者，

则 f {\displaystyle f\,\!} 与 f ⋆ ⋆ --> {\displaystyle f^{\star }\,\!} 互相为彼此的勒让德变换。

依照定义，

思考下述运算：

所以，

这里， x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。

这答案是标准答案；但并不是唯一的答案。设定

也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。

数学性质

以下讨论，函数 f {\displaystyle f\,\!} 的勒让德变换皆标记为 f ⋆ ⋆ --> {\displaystyle f^{\star }\,\!} 。

标度性质

勒让德变换有以下这些标度性质：

由此可知，一个 r {\displaystyle r\,\!} 次齐次函数的勒让德变换是一个 s {\displaystyle s\,\!} 次齐次函数；这里，

平移性质

反演性质

线形变换性质

让 A {\displaystyle A\,\!} 成为一个从 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 到 R m {\displaystyle R^{m}\,\!} 的线形变换。对于任何定义域为 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 的凸函数 f {\displaystyle f\,\!} ，必有

这里， A ⋆ ⋆ --> {\displaystyle A^{\star }\,\!} 是 A {\displaystyle A\,\!} 的伴随算子定义为

应用

热力学

在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变数，转换为一个新函数与所含有的一个新自变数，（此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数）；将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能 U {\displaystyle U\,\!} 是外延量（extensive）熵 S {\displaystyle S\,\!} ，体积 V {\displaystyle V\,\!} ，与化学成分（chemical composition） N i {\displaystyle N_{i}\,\!} 的显函数

对于 − − --> P V {\displaystyle -PV\,\!} ，函数 U {\displaystyle U\,\!} （非标准的）勒让德变换为焓函数 H {\displaystyle H\,\!} ：

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。

对于 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函数 H {\displaystyle H\,\!} 勒让德变换为吉布斯能函数 G {\displaystyle G\,\!}  :

对于 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函数 U {\displaystyle U\,\!} 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数 A {\displaystyle A\,\!}  :

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

经典力学(哈密顿力学)

在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} 是广义坐标 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … … --> ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!} 与广义速度 q ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\,\!} 的函数；而哈密顿量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 将函数的自变量转换为广义坐标 q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 与广义动量 p = ( p 1 ,   p 2 ,   … … --> ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!} ：

正则变换

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变， ( q ,   p ) → → --> ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!} ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

这里， q ,   p {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!} 是旧正则坐标， Q ,   P {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!} 是新正则坐标， H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 是旧哈密顿量， K {\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!} 是新哈密顿量， G {\displaystyle G\,\!} 是生成函数。

参阅

哈密顿力学

切触几何

正则变换

参考文献

Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 

Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4. 

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