生平

赫尔曼·格拉斯曼是Justus·格拉斯曼的12个小孩中的第3个，Justus是一个在什切青文理中学教授数学和物理的牧师，赫尔曼在那里接受教育。

格拉斯曼一直是个不起眼的学生，直到他在普鲁士大学的入学考试中获得了高分。从1827年开始，他在柏林大学学习神学，同时修习了古典语言、哲学和文学方面的课程；他似乎未曾学习数学或者物理课程

虽然缺乏大学数学课程训练，数学却是他在1830年在柏林完成学业并返回什切青时最感兴趣的领域。经过一年准备，他参加了在文理中学教授数学的资格考试，但只取得了教低级别的资格。大约在这个时候，他做出了他的第一批重大数学发现，最终发展成1844年著作（以下简称A1，见参考资料）中的重要思想。

1834年，格拉斯曼开始在柏林的Gewerbeschule教授数学。一年后，他返回什切青在一所新学校Otto中学教授数学、物理、德语、拉丁文和宗教。在接下来的四年中，格拉斯曼通过了能在中学所有级别教授数学、物理、化学和矿物学的考试。

1847年，他成为资深教师（Oberlehrer）。1852年，他得到了他亡父在什切青文理中学的职位，因而获得了教授的头衔。1847年，他向普鲁士教育部申请大学教职，为此教育部向库默尔征询了他对格拉斯曼的看法。库默尔回信道格拉斯曼1846年的获奖文章（参看下文）包含了“……以有缺陷的形式表达的值得赞赏的材料。”库默尔的报告终结了格拉斯曼寻求大学教职的所有机会。这样的场景重复出现，格拉斯曼年代的出名人士无法欣赏他的数学的真正价值。

在德国1848-49年的政治骚乱中，赫尔曼和罗伯特·格拉斯曼发行了一份报刊，鼓吹君主立宪制下的德国统一。（这在1871年得以实现）。在撰写一系列关于宪法的文章之后，赫尔曼离开了报社，因为他发现他和该报的政治倾向愈发相左。

格拉斯曼有11个孩子，其中7个长大成人。其中一个儿子赫尔曼·恩斯特·格拉斯曼成为吉森大学的数学教授。

数学家生涯

格拉斯曼参加过的诸多考试中的一次要求他递交关于潮汐的一篇文章。1840年，他写了这样一篇，采用了拉普拉斯的《天体力学》和拉格朗日的《解析力学》中的基本理论，但用他从1832年就开始琢磨的向量方法表述。这篇文章最初发表于1894-1911年的《合集》中，它包含了已知的最早的关于现在称为线性代数的理论以及向量空间的概念。他在他的《A1》和《A2》中继续发展了这些理论。

1844年，格拉斯曼发表了他的杰作，《线性外代数，数学的新分支》(Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)，之后用A1代表，通常被称为Ausdehnungslehre，译为"扩展的理论"或者"扩展了幅度的理论"。因为A1给出了所有数学的一个新基础，该著作首先讨论了哲学本质的广泛的定义。然后格拉斯曼证明一旦几何被置入他所鼓吹的代数形式中，三就不再是空间维数的有特殊地位的数字；可能成为维数的数字是无限的。

Fearnley-Sander (1979)将格拉斯曼的线性代数的基础表述为：

顺着格拉斯曼父亲的一个思路，A1还定义了楔积，也称为"组合积"（德语为：äußeres Produkt或者kombinatorisches Produkt），这样的代数现在称为外代数。（必须注意在格拉斯曼的年代，唯一的公理化的理论是欧氏几何，而且抽象代数的一般概念还没有被定义）。1878年，威廉·金顿·克利福德将这个外代数的概念加入哈密尔顿的四元数中，他将格拉斯曼的epep = 0的规则换成epep = 1即可。细节请参看外代数。

A1是革命性的著述，因太超前而不被赏识。格拉斯曼将它作为博士论文呈递，但莫比乌斯说他无法评价它，并将它转呈库默尔，后者没有仔细阅读就否决了它。在接下来的十年间，格拉斯曼写了各种应用他的扩张理论的著述，包括1845年的《电动力学新理论》和一些关于代数曲线和曲面的论文，他借此希望有人因为这些应用而重视他的理论。

1846年，莫比乌斯邀请格拉斯曼参加解决莱布尼茨最早给出的一个问题的竞赛：推导不含坐标和度量属性的几何微积分（莱布尼茨称其为analysis situs）。格拉斯曼的《附带几何分析和莱布尼茨特征》（Die Geometrische Analyse geknüpft und die von Leibniz Characteristik）赢得了比赛。但是有一点要指出，格拉斯曼的论文是唯一参赛作品。而且，莫比乌斯作为评委之一批评了格拉斯曼引入抽象概念而不给读者任何为何这些概念有用的直观印象。

1853年，格拉斯曼发表了颜色如何混合的一个理论；该理论和它的三色定律，也就是格拉斯曼色彩定律还在被教授。格拉斯曼在这个课题上的论著和亥姆霍兹的不一致。格拉斯曼也在晶体学，电磁学，和力学上都有著述。

格拉斯曼于1861年作出了算数的第一个公理化表示，其中自由使用了归纳原理。皮亚诺和他的追随者从1890年开始自由地引用了该论文。奇怪的是，格拉斯曼1861年的原著从未被译成英文。

1862年，格拉斯曼发表了完全重写的A1第二版，希望获得他的扩张理论的迟到的赞誉，并包含了他的线性代数的定义表述。其成果，Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet，后面记为A2，并不比A1获得更多的认同，虽然A2的表述方式预示了二十世纪课本的形式。

赫尔曼·汉克尔是唯一在他在世时赏识他的数学家，他的1867年的论文（Theorie der complexen Zahlensysteme）有助于格拉斯曼的思想的传播。该文

格拉斯曼的数学方法非常慢地得到采用，但它们直接影响了克莱因和埃利·嘉当。阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德的第一本专论，泛代数（Universal Algebra） (1898年)，包含了英语文献中对扩张理论和外代数的第一次系统表述。扩张理论被用于微分形式的研究以及微分形式在分析和几何方面的应用中。微分几何也使用了外代数。关于格拉斯曼的工作在当代数学物理中的作用的简介，请参看彭罗斯（2004：第11，12章）。

语言学家

因为不能以数学家身份得到承认，格拉斯曼成了一个历史语言学家。他出版了关于德语语法的书籍和民歌集，并学习了梵语。他的字典和他的印度草医学译本（还在付印）得到了哲学家的承认。他设计了一个印欧语的发音规则，被称为格拉斯曼定律。这些哲学成就在他生前就得到了承认；他在1876年被选入美国东方社，并从蒂宾根大学获得了荣誉学位。

参看

外代数

格拉斯曼数

格拉斯曼流形

格拉斯曼定律

格拉斯曼定律 (色彩)

参考资料

主要:

1844. Die lineale Ausdehnungslehre. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics. Chicago: Open Court. This is A1.

1861. Lehrbuch der Mathematik fur hohere Lehrenstalten, Band 1. Berlin: Enslin.

1862. Die Ausdehnungslehre, vollstandig und in strenger Form bearbeitet. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, Extension Theory. American Mathematical Society. This is A2.Excerpttranslated by D. Fearnley-Sander.

1894-1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

次要:

Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis. Notre Dame University Press.

Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra," American Mathematical Monthly 86: 809-17.

--------, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," Am. Math. Monthly 89: 161-66.

-------, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry". Automated Deduction in Geometry: 141-70

Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf.

Schlege, Victor, 1878. Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke. Leipzig: F.A. Brockhaus.

Schubring, G., ed., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer.

Hans-Joachim Petsche: Graßmann. Basel [usw.] 2006 (Vita Mathematica 13), ISBN 3-7643-7257-5

完整的网上传记，展示了现代人对于格拉斯曼的生平和著述的巨大兴趣。参考了Schubring的所有章节。

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