定义

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

在 R 中点集是开集，如果在这个集合的所有点 P 都是内部点。

欧几里得空间

n 维欧几里得空间 R 的子集 U 是开集，如果给定任何在 U 中的点 x ，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何 R 中点 y ，有着从 x 欧几里得距离得距离小于ε，则 y 也属于 U 。等价的说， U 是开集，如果所有 U 中的点有包含在 U 中的邻域。

度量空间

度量空间( M , d )的子集 U 是开集，如果给定任何 U 中的点 x ，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何 M 中的点 y ，有 d ( x , y ) < ε，则 y 也属于 U 。（等价的说， U 是开集，如果所有 U 中的点有包含在 U 中的邻域。）

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

拓扑空间

在拓扑空间中，开集是基础性的概念。你可以从任意集合 X 出发，再选取 X 的某个特定的子集族 T ，使 T 中的集合都满足作为开集应有的每一性质。这样的子集族 T 被叫做 X 上的“拓扑”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 ( X , T )的开集。注意开集的无限交集不必为开集。若一个集合可以被构造为可数多个开集的交集，则称其为 G δ 集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你从一个度量空间出发并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）

性质

空集是开集（注意空集也是闭集）。

定义拓扑的集合X既开又闭。

任意个开集的并集是开集。

有限个开集的交集是开集。

例子

度量空间 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 中，以点 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} 为中心， ε ε --> {\displaystyle \varepsilon } 为半径的球体 B ( x , ε ε --> ) {\displaystyle B(x,\varepsilon )} 为开集，任意的开集 A {\displaystyle A} 包含以 x ∈ ∈ --> A {\displaystyle x\in A} 为中心，充分小的 ε ε --> {\displaystyle \varepsilon } 为半径的球体 B ( x , ε ε --> ) {\displaystyle B(x,\varepsilon )} 。

流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。

拓扑空间 X 的每个子集 A 都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做 A 的内部。它可以通过取包含在 A 中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间 X 和 Y ，从 X 到 Y 的函数 f 是连续的，如果在 Y 中的所有开集的前像是在 X 中的开集。映射 f 被叫做开映射，如果在 X 中的所有开集的像是 Y 中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

相关条目

拓扑空间

度量空间

闭集

闭开集

注释

^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。

^ 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。

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