历史发展古希腊经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。在各种科学领域的基础中，或许会有...

语言学的语义学若从严格意义上的语言学研究来分类，在现代语言学的语义学中，可以分为结构主义的语义学研究和生成语言学的语义学研究。结构主义语义学是从20世纪上半叶以美国为主的结构主义语言学发展而来的，研究的内容主要在于词汇的意义和结构，比如说义素分析，语义场，词义之间的结构关系等等。这样的语义学研究也可以称为词汇语义学，词和词之间的各种关系是词汇语义学研究的一个方面，例如同义词、反义词，同音词等，找出词语之间的细微差别。生成语义学是20世纪六七十年代流行于生成语言学内部的一个语义学分支，是介于早期的结构主义语言学和后来的形式语义学之间的一个理论阵营。生成语义学借鉴了结构语义学对义素的分析方法，比照生成音系学的音位区别特征理论，主张语言的最深层的结构是义素，通过句法变化和词汇化的各种手段而得到表层的句子形式。形式语义学是从20世纪70年代开始发展出来的一个理论阵营。最初的研究开始于蒙太古以数理逻...

初步定义在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的“分离空间”。）分离公理是利用拓扑的方法来分办不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是“拓扑可区别的”；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）“可分离的”。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。设X为一拓扑空间，A,B⊆X，R是实数集，定义：对于X中的点x，y（或点x和子集A），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合{x}和{y}（或{x}和子集A）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一...

陈述首先定义几个概念：集族：指由非空集合组成的集合。选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族X中的集合s，f(s)是s的一个元素。那么，选择公理表示：上述可表示为：或者：该定理也可表达为：变体第二个版本的选择公理声称：第三个版本声称：使用这个版本的作者通常谈及“在A上的选择函数”，但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是A的幂集（减去空集），因此对任何集合A有意义；至于本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义，选择公理也可以简洁的陈述为它等价于而选择公理的否定表达为：术语（AC，ZF，ZFC）以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写：AC：选择公理。ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。使用直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都...

性质一个公理系统称为自洽（或称相容、一致），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。若一个公理系统中，每个命题及其否定命题中至少有一方可被证明，则称该公理系统为完备。模型公理系统的数学模型是一个定义良好的集合，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽性。模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的有效模型，我们表明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。两个模型被称为同构，如果它们的元素可以建立一一对应，并且以一种保持它们之间的关系的方式。一个其每个模型都同构于另一个