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有限状态机

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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概念和术语状态存储关于过去的信息，就是说：它反映从系统开始到现在时刻的输入变化。转移指示状态变更，并且用必须满足确使转移发生的条件来描述它。动作是在给定时刻要进行的活动的描述。有多种类型的动作：FSM（有限状态机）可以使用上面图1那样的状态图（或状态转移图）来表示。此外可以使用多种类型的状态转移表。下面展示最常见的表示：当前状态（B）和条件（Y）的组合指示出下一个状态（C）。完整的动作信息可以只使用脚注来增加。包括完整动作信息的FSM定义可以使用状态表。除了建模这里介绍的反应系统之外，有限状态自动机在很多不同领域中是重要的，包括电子工程、语言学、计算机科学、哲学、生物学、数学和逻辑学。有限状态机是在自动机理论和计算理论中研究的一类自动机。在计算机科学中，有限状态机被广泛用于建模应用行为、硬件电路系统设计、软件工程，编译器、网络协议、和计算与语言的研究。分类有两个不同的群组：接受器／识别器和...

概念和术语

状态存储关于过去的信息，就是说：它反映从系统开始到现在时刻的输入变化。转移指示状态变更，并且用必须满足确使转移发生的条件来描述它。动作是在给定时刻要进行的活动的描述。有多种类型的动作：

FSM（有限状态机）可以使用上面图1那样的状态图（或状态转移图）来表示。此外可以使用多种类型的状态转移表。下面展示最常见的表示：当前状态（B）和条件（Y）的组合指示出下一个状态（C）。完整的动作信息可以只使用脚注来增加。包括完整动作信息的FSM定义可以使用状态表。

除了建模这里介绍的反应系统之外，有限状态自动机在很多不同领域中是重要的，包括电子工程、语言学、计算机科学、哲学、生物学、数学和逻辑学。有限状态机是在自动机理论和计算理论中研究的一类自动机。在计算机科学中，有限状态机被广泛用于建模应用行为、硬件电路系统设计、软件工程，编译器、网络协议、和计算与语言的研究。

分类

有两个不同的群组：接受器／识别器和变换器。

接受器和识别器

图2接受器FSM：解析单词"nice"

接受器和识别器（也叫做序列检测器）产生一个二元输出，说要么“是”要么“否”来回答输入是否被机器接受。所有FSM的状态被称为要么接受要么不接受。在所有输入都被处理了的时候，如果当前状态是接受状态，输入被接受，否则被拒绝。作为规则，输入是符号（字符）；动作不使用。图2中的例子展示了接受单词"nice"的有限状态自动机，在这个FSM中唯一的接受状态是状态7。

机器还可以被描述为定义了一个语言，它包含了这个机器所接受而非拒绝的所有字词；我们称这个语言被这个机器接受。通过定义，FSM接受的语言是正则语言- 就是说，如果一个语言被某个FSM接受，那么它是正则的（cf. Kleene的定理）。

开始状态

开始状态通常用“没有起点的箭头”指向它来表示（Sipser (2006）p.34）

接受(最终)状态

接受状态（或称最终状态）是一个机器回报到目前为止，输入字符串属于它所接受的内容之状态。状态图中通常将其标示为双圆圈。开始状态也可以是接受状态，此情况下自动机会接受空字符串。如果开始状态不是接受状态，且没有可以连到任何接受状态的箭头，那么此自动机就不会“接受”任何输入。一个接受状态的例子如图3：一台判断输入二进位字符串是否含有偶数个0的确定有限自动机（DFA）。S 1 代表着已经输入了偶数个0，因此 S 1 即为接受状态（同时亦为开始状态）。若输入含有偶数个0（包含没有0的字符串），则此机器会以接受状态来结束。被这台DFA接受的字符串，举例来说是ε（空字符串）, 1, 11, 11…, 00, 010, 1010, 10110…等等。

变换器

变换器使用动作基于给定输入和／或状态生成输出。它们用于控制应用。常分为两种类型：

Moore机

只使用进入动作的FSM，就是说输出只依赖于状态。Moore模型的好处是行为的简单性。图1的例子展示了一个电梯门的Moore FSM。这个状态机识别两个命令：“command_open”和“command_close”触发状态变更。在状态“Opening”中的进入动作 (E:)开启电机开门，在状态“Closing”中的进入动作以反方向开启电机关门。状态“Opened”和“Closed”不进行任何动作。它们信号通知外部世界（比如其他状态机）情况：“门开着”或“门关着”。

Mealy机

图4变换器FSM: Mealy模型例子

只使用输入动作的FSM，就是说输出依赖于输入和状态。Mealy FSM的使用经常导致状态数目的简约。在图4中的例子展示了实现同上面Moore机同样行为的Mealy FSM（行为依赖于实现的FSM执行模型，比如对虚拟FSM可工作但对事件驱动FSM不行）。有两个输入动作（I:）：“开启电机关门如果command_close下达”和“反向开启电机开门如果command_open下达”。

在实践中经常使用混合模型。

进一步可区分为确定型（DFA）和非确定型（NDFA、GNFA）自动机。在确定型自动机中，每个状态对每个可能输入只有精确的一个转移。在非确定型自动机中，给定状态对给定可能输入可以没有或有多于一个转移。这个区分在实践而非理论中更有用，因为存在算法把任何NDFA转换成等价的DFA，尽管这种转换一般会增加自动机的复杂性。

只有一个状态的FSM叫做组合FSM并只使用输入动作。这个概念在多个FSM要一起工作的情况下是有用的，这时把纯组合部分看作一种形式的FSM来适合设计工具可能是方便的。

FSM逻辑

图5 FSM逻辑

FSM的下一个状态和输出是由输入和当前状态决定的。FSM逻辑在图5中展示。

数学模型

依据类型不同有多种定义。接受器有限状态机是五元组 ( Σ Σ --> , S , s 0 , δ δ --> , F ) {\displaystyle (\Sigma ,S,s_{0},\delta ,F)} ，这里的：

Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } 是输入字母表（符号的非空有限集合）。

S {\displaystyle S} 是状态的非空有限集合。

s 0 {\displaystyle s_{0}} 是初始状态，它是 S {\displaystyle S} 的元素。在非确定有限状态自动机中， s 0 {\displaystyle s_{0}} 是初始状态的集合。

δ δ --> {\displaystyle \delta } 是状态转移函数： δ δ --> : S × × --> Σ Σ --> → → --> S {\displaystyle \delta :S\times \Sigma \rightarrow S} 。

F {\displaystyle F} 是最终状态的集合， S {\displaystyle S} 的（可能为空）子集。

变换器有限状态自动机是六元组 ( Σ Σ --> , Γ Γ --> , S , s 0 , δ δ --> , ω ω --> ) {\displaystyle (\Sigma ,\Gamma ,S,s_{0},\delta ,\omega )} ，这里的：

Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } 是输入字母表（符号的非空有限集合）。

Γ Γ --> {\displaystyle \Gamma } 是输出字母表（符号的非空有限集合）。

S {\displaystyle S} 是状态的非空有限集合。

s 0 {\displaystyle s_{0}} 是初始状态，它是 S {\displaystyle S} 的元素。在非确定有限状态自动机中， s 0 {\displaystyle s_{0}} 是初始状态的集合。

δ δ --> {\displaystyle \delta } 是状态转移函数： δ δ --> : S × × --> Σ Σ --> → → --> S {\displaystyle \delta :S\times \Sigma \rightarrow S} 。

ω ω --> {\displaystyle \omega } 是输出函数。

如果输出函数是状态和输入字母表的函数（ ω ω --> : S × × --> Σ Σ --> → → --> Γ Γ --> {\displaystyle \omega :S\times \Sigma \rightarrow \Gamma } ），则定义对应于 Mealy模型，它可以建模为Mealy机。如果输出函数只依赖于状态 ( ω ω --> : S → → --> Γ Γ --> {\displaystyle \omega :S\rightarrow \Gamma } ），则定义对应于 Moore模型，它可建模为Moore机。根本没有输出函数的有限状态机叫做半自动机或转移系统。

优化

优化一个FSM意味着找到带有极小数目个状态的进行同样功能的机器。一种可能是使用蕴涵表或Moore简约过程。另一种可能是无环FSA的自底向上算法。

实现

硬件应用