李群定义

G {\displaystyle G} 为有限维实解析流形

两个 解析映射 ，二元运算 G × × --> G → → --> G {\displaystyle G\times {}G\rightarrow {}G} ，和逆映射 G → → --> G {\displaystyle G\rightarrow {}G} 满足群公理，从而具有群结构。

解析李群与光滑李群

部分书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为 C ∞ ∞ --> {\displaystyle C^{\infty }} ）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理. 任意 C ∞ ∞ --> {\displaystyle C^{\infty }} 李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构

G , H {\displaystyle G,H} 均为李群，二者之间的一个同态： f : G → → --> H {\displaystyle f\,:G\rightarrow H} 为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆同态为同态，就同构为同构。

李代数

李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状；借助指数映射或源自李代数的叶状结构，可以将李代数的性质提升到李群的层次。

设 G {\displaystyle G} 为李群，其李代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 定义为 G {\displaystyle G} 在单位元的切空间。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 自然具备了矢量空间结构， g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上的 李括积 [ , ] : g × × --> g → → --> g {\displaystyle [,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 定义如下：

定义 G {\displaystyle G} 对自身的 伴随作用 为 A d ( x ) ( y ) := x y x − − --> 1 {\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}} ， x , y ∈ ∈ --> G {\displaystyle x,y\in G} 。

取Ad对变元 y ∈ ∈ --> G {\displaystyle y\in G} 在单位元上的微分，得到李代数上的伴随作用，通常记为 A d ( x ) ( Y ) = x Y x − − --> 1 {\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}} ， x ∈ ∈ --> G , Y ∈ ∈ --> g {\displaystyle x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}} 。

再对变元 x ∈ ∈ --> G {\displaystyle x\in G} 微分，得到映射 a d : g × × --> g → → --> g {\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 。定义李括积为 [ X , Y ] := a d ( X ) ( Y ) {\displaystyle [X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)} 。

不难验证 [ , ] {\displaystyle [,]} 满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质，例如：连通李群 G {\displaystyle G} 是交换群当且仅当 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 是交换李代数。

李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义，或者取定局部坐标，用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。

李群对应李代数

若 G {\displaystyle G} 是李群， H ⊂ ⊂ --> G {\displaystyle H\subset G} 是其子群，并带有李群结构，使得包含映射 H → → --> G {\displaystyle H\to G} 为浸入（不一定是闭的），则可得到子李代数 h ⊂ ⊂ --> g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} 。反之，任意子李代数 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 透过左平移定义了 G {\displaystyle G} 上的叶状结构，取含单位元的极大积分流形，便得到满足前述条件的子群 H ⊂ ⊂ --> G {\displaystyle H\subset G} 。此子群未必是闭子群，它可能是 G {\displaystyle G} 的稠密子集（考虑环面的例子）。

李代数的映射 g 1 → → --> g 2 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}} 未必能提升至李群的映射 G 1 → → --> G 2 {\displaystyle G_{1}\to G_{2}} ，但可提升至映射 G ~ ~ --> 1 → → --> G 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{1}\to G_{2}} ，其中 G ~ ~ --> 1 {\displaystyle {\tilde {G}}_{1}} 是 G 1 {\displayst覆叠空间G_{1}} 的万有覆叠空间。

指数映射

对于任意矢量 X → → --> g {\displaystyle X\to {\mathfrak {g}}} ，根据常微分方程式的基本理论，存在 G {\displaystyle G} 中的单参数子群 c X ( t ) , c X ( 0 ) = e {\displaystyle c_{X}(t),c_{X}(0)=e} 使得 c X ′ ( t ) = c X ( t ) ⋅ ⋅ --> X {\displaystyle c_{X}"(t)=c_{X}(t)\cdot X} 。由此得到的映射

称为 指数映射 。它总是解析映射。

若 G {\displaystyle G} 为 G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 的子群，则 e x p ( X ) = ∑ ∑ --> i = 0 ∞ ∞ --> X i i ! {\displaystyle \mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}} ，这是指数映射一词的缘由。

当 G {\displaystyle G} 连通且非交换时，指数映射 g → → --> G {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G} 并非同态；局部上， e x p ( X ) e x p ( Y ) {\displaystyle \mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)} 可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。

一般域上的李群

在任意域、环乃至于概形上，都可以定义群概形；这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义，然而李群未必是代数簇。

另一方面，若域 F {\displaystyle F} 对某个绝对值是完备域，其特征为零，则可照搬解析李群的定义以定义域 F {\displaystyle F} 上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是 F = C {\displaystyle F=\mathbb {C} } ；至于数论方面，特别涉及自守表示的研究上，则须用到 F {\displaystyle F} 为p进数域的情形。

文献

D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.

Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .

Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .

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