历史

狄利克雷问题以勒热纳·狄利克雷命名，他利用变分方法提出了一个解决办法，这便是狄利克雷原理。唯一解的存在性由物理分析似乎很有理：边界上任何电荷分布，由静电学定律，将确定一个电势做为一个解。

但魏尔斯特拉斯发现了狄利克雷证明的一个漏洞，存在性严格的证明直到1900才由希尔伯特给出。结论是解的存在性微妙地依赖于边界与预定值的光滑性。

一般解

对具有足够光滑边界∂ ∂ -->D{\displaystyle \partial D}一个区域D{\displaystyle D}，狄利克雷问题的一般解由

给出，这里G(x,y){\displaystyle G(x,y)}是这个偏微分方程的格林函数，而

是格林函数沿着内单位法向n^ ^ -->{\displaystyle {\widehat {n}}}的导数。在边测度对测度ds{\displaystyle ds}进行积分。函数ν ν -->(s){\displaystyle \nu (s)}由第二类弗里德霍姆积分方程（英语：Fredholm integral equation）的惟一解给出

上一个积分中的格林函数在边界上为零：

这样的格林函数通常是自由域格林函数与一个微分方程的调和解之和。

存在性

调和函数的狄利克雷问题总有解，当边界足够光滑且f(s){\displaystyle f(s)}连续则解是惟一的。更准确地说，当

时有解。这里C(1,α α -->){\displaystyle C^{(1,\alpha )}}表示赫尔德条件。

例子：二维单位圆盘

在一些简单情形狄利克雷问题可以明确地解出来。例如对R中单位圆盘的狄利克雷问题的解由泊松积分公式给出。

如果f{\displaystyle f}是单位圆盘D{\displaystyle D}的边界∂ ∂ -->D{\displaystyle \partial D}连续函数续函数，则狄利克雷问题的解u(z){\displaystyle u(z)}由积分给出：

解u{\displaystyle u}在闭单位圆盘D¯ ¯ -->{\displaystyle {\bar {D}}}上连续在D{\displaystyle D}内调和。

被积函数称为泊松核；这个解由二维格林函数导出：

这里γ γ -->(z,x){\displaystyle \gamma (z,x)}调和

并使得对x∈ ∈ -->∂ ∂ -->D{\displaystyle x\in \partial D}有G(z,x)=0{\displaystyle G(z,x)=0}。

推广

狄利克雷问题是典型的椭圆型微分方程、位势论和拉普拉斯方程。其他例子包括双调和方程（英语：Biharmonic equation）以及弹性理论中相关方程。

狄利克雷问题是在边界上给出信息的偏微分方程问题中一类，其他类型包括诺伊曼问题和柯西问题。

参考文献

A. Yanushauskas,Dirichlet problem, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。