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序数扩展了自然数自然数可以用来做两件事:描述一个集合的大小,或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的,当处理无限集合时人们不得不区分这两者。从大小的概念可以引申出如康托尔描述的“基数”,而位置的概念则被推广到这里将要说明的序数。基数这一概念可以适用于没有特殊结构的集合,而序数却和同一种称为良序集的特殊集合有着密切的关联(这种关联如此密切,以至于一些数学家不去区分这两个概念)。简单说来,一个良序集是一个全序集(任意给定两个元素,可以定义一个大的、一个小的),不存在无穷降链(但可以有无穷升链),换言之有最小元素。序数可以用来标定任何给定的良序集的元素(最小的元素标定为0,其后的标定为1,再后的标定为2,依此类推),同时也可以用来给出良序集的“长度”—没有用来标定良序集的元素的最小序数就是这个良序集的长度。这个“长度”也称为集合的序类型。任何一个序数都是通过先于它的所有序数...
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