向量

因为上式等同c≤ ≤ -->b+a{\displaystyle c\leq b+a}。 （其中a,b,c为任意三角形的其中三边）

实数

|a+b|≤ ≤ -->|a|+|b|{\displaystyle \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}

证明：

考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：

对于(a0)∨ ∨ -->(b0){\displaystyle (a0)\lor (b0)}(即a, b彼此异号)，2ab<|2ab|{\displaystyle 2ab

对于(a,b≤ ≤ -->0)∨ ∨ -->(a,b≥ ≥ -->0){\displaystyle (a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)}(即a, b彼此同号)，2ab=|2ab|{\displaystyle 2ab=\left|2ab\right|}

推论：

||a|− − -->|b||≤ ≤ -->|a± ± -->b|≤ ≤ -->|a|+|b|{\displaystyle \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}

球面三角形

|a− − -->b|≤ ≤ -->c≤ ≤ -->a+b{\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}

反方向

在闵可夫斯基空间，三角不等式是反方向的：

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。

参见

次加性

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