球对称位势范例

哈密顿算符的旋转不变性

假设一个量子系统的位势为球对称位势V(r){\displaystyle V(r)} ，其哈密顿算符 H{\displaystyle H} 可以表示为

其中，ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数，m{\displaystyle m} 是质量，r{\displaystyle r} 是径向距离。

现在，以 z-轴为旋转轴，旋转此系统的 x-轴与 y-轴 θ θ -->{\displaystyle \theta } 角弧，则新直角坐标 r′=(x′,y′,z′){\displaystyle \mathbf {r} "=(x",\,y",\,z")} 与旧直角坐标的关系式为

偏导数为

那么，导数项目具有旋转不变性：

由于径向距离具有旋转不变性：

旋转之后，新的哈密顿算符 H′{\displaystyle H"} 是

所以，球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

角动量守恒

假设一个量子系统的位势为球对称位势V(r){\displaystyle V(r)} ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 R{\displaystyle R} 为一个对于 z-轴的无穷小旋转δ δ -->θ θ -->{\displaystyle \delta \theta } 。则正弦函数与余弦函数可以分别近似为

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

将 R{\displaystyle R} 作用于波函数 ψ ψ -->(x,y,z){\displaystyle \psi (x,\,y,\,z)} ，

其中，Lz{\displaystyle L_{z}} 是角动量的 z-分量，Lz=xpy− − -->ypx=− − -->iℏ ℏ -->(x∂ ∂ -->∂ ∂ -->y− − -->y∂ ∂ -->∂ ∂ -->x){\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)} 。

所以，旋转算符 R{\displaystyle R} 可以表达为

假设 ψ ψ -->E(r){\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 是哈密顿算符的能级本征态，则

由于 r{\displaystyle \mathbf {r} } 只是一个虚设变数，

在做一个微小旋转之后，

所以，(RH− − -->HR)ψ ψ -->E(r)=0{\displaystyle (RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0} 。哈密顿算符的能级本征态 ψ ψ -->E(r){\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 形成一组完备集(complete set)，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

因此，

根据埃伦费斯特定理，Lz{\displaystyle L_{z}} 的期望值对于时间的导数是

所以，

由于 Lz{\displaystyle L_{z}} 显性地不含时间，

总结，⟨ ⟨ -->Lz⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle L_{z}\rangle } 不含时间，Lz{\displaystyle L_{z}} 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地，可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以，整个角动量守恒。

参阅

各向同性

轴对称

明显对称性破缺

麦克斯韦定理 (Maxwell"s theorem)

参考文献

Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 

Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。

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