几何原本第五公设古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。头四条公设分别为：由任意一点到任意一点可作直线。一条有限直线可以继续延长。以任意点为心及任意的距离可以画圆。凡直角都相等。同一平面内一条直线a和另外两条直线b.c相交，若在a某一侧的两个内角的和小于两直角，则b.c两直线经无限延长后在该侧相交。长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对...

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一般用法交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。数学定义“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中：1.在集合S的一二元运算*被称之为“可交换”的，若：一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。2.若称x在*下和y“可交换”，即表示：3.一二元函数f:A×A→B被称之为“可交换”的，若：历史对这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18

定义与例子定义更多资料：环环是一个集合R带有两个二元运算，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作+与⋅，例如a+b与a⋅b。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下是一个阿贝尔群，在乘法下为一个幺半群，使得乘法对加法有分配律，即a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)。关于加法与乘法的单位元素分别记作0和1。另外如果乘法也是交换的，即环R称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。例子一个重要的例子，在某种意义下是最关键的，是带有加法与乘法两个运算的整数环Z。因为整数乘法是一个交换运算，这是一个交换环。通常记作Z，是德语词Zahlen（数）的缩写。一个域是每个非零元素a是可逆的交换环，即有一个乘法逆b使得a⋅b=1。从而，由定义知任何域是一个交换环。有理数、实数、复数都是域。2×2的矩阵不是交换的，因为矩阵乘法不满足交换律，如下例所示：但是

群论环论量子力学量子力学中，经常用到对易关系（commutationrelation），即其中；A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}、B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}均算符子力学的算符，[A^^-->,B^^-->]{\displaystyle[{\hat{A}},{\hat{B}}]}是其对易算符，也称交换子。如果上式等于零，则称A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}、B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}是对易的，即意味着A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}和B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。量子力学中，交换子有以下特性:量子力学...