内容

如果一个拓扑空间X是正则的，且有一组可数基，那么X是可度量化的。 一个拓扑空间中被说成是可度量的，如果有一个度量 (X,τ τ -->){\displaystyle (X,\tau )}d: : -->X× × -->X→ → -->[0,∞ ∞ -->){\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )} 并且这拓扑τ τ -->{\displaystyle \tau }由 d 诱导产生。

证明的想法

利用X是正则的且有一组可数基的假定就可以证明，X能嵌入一个度量空间之中。因此，X与一个度量空间的子空间同胚。由于一个度量空间的子空间是可度量化的，又由于可度量性是一种拓扑性质，于是得出：X是可度量化的。

例子

Z上的等差数列拓扑由所有形如 Aa,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的等差数列所组成的基来定义，其中a,b∈R.b≠0。

诱导Z上的度量

参考

《拓扑学基础及应用》/（美）亚当斯（Adams.C）等著；沈以淡等译.-北京：机械工业出版社，2010.2 ISBN：978-7-111-28809-1

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