坐标表法

如果 V 是n维向量空间，设 C = { e 1 , … … --> , e n } {\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 是 V 的一组基。定义 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 阶的矩阵 A 使得 ( A i j ) = B ( e i , e j ) {\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})} 。当 n × × --> 1 {\displaystyle n\times 1} 的矩阵 x 和 y 表示向量 u 及 v 时，双线性形式 B 可表示为:

考虑另一组基 C ′ = [ e 1 ′ ⋯ ⋯ --> e n ′ ] = [ e 1 ⋯ ⋯ --> e n ] S {\displaystyle C"={\begin{bmatrix}e"_{1}&\cdots &e"_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S} ，其中 S 是一个可逆的 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在 C ′ {\displaystyle C"} 下的矩阵 A ′ {\displaystyle A"} 的形式为：

对偶空间映射

V 的每一个双线性形式 B 都定义了一对由 V 射到它的对偶空间 V *的线性函数。 定义 B 1 , B 2 : : --> V → → --> V ∗ ∗ --> {\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} ：

常常记作：

这里的(–)是放变量的位置。

如果 V 是有限维空间的话， V 和它的 双对偶空间 V **是同构的，这时 B 2 是 B 1 的转置映射（如果 V 是无限维空间， B 2 限制在 V 在 V **的像下的部分是 B 1 的转置映射）。 定义 B 的转置映射为双线性形式：

如果 V 是有限维空间， B 1 及 B 2 的秩相等。如果他们的秩等于 V 的维数的话， B 1 和 B 2 就是由 V 到 V *的同构映射（显然 B 1 是同构当且仅当 B 2 是同构），此时， B 是 非退化 的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义： B 是 非退化 的当且仅当

镜像对称性和正交性

双线性形式 B : V × V → F 是 镜像对称 的当且仅当:

当A是非奇异矩阵，即当 B 是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义 W ⊥ ⊥ --> = { v | B ( v , w ) = 0 ∀ ∀ --> w ∈ ∈ --> W } {\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}} 。

当 B 是非退化时，映射 W → → --> W ⊥ ⊥ --> {\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }} 是双射，所以 W ⊥ ⊥ --> {\displaystyle W^{\perp }} 的维数等于dim( V )-dim( W )。

可以证明，双线性形式 B 是 镜像对称 的当且仅当它是以下两者之一：

对称 的: B ( v , w ) = B ( w , v ) {\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,} ∀ ∀ --> v , w ∈ ∈ --> V {\displaystyle \forall v,w\in V\,}

交替(alternating) 的: B ( v , v ) = 0 {\displaystyle B(v,v)=0\,} ∀ ∀ --> v ∈ ∈ --> V {\displaystyle \forall v\in V\,}

每个交替形式都是 斜对称 (skew-symmetric)（或称 反对称 (antisymmetric)）的，只要展开

当 F 的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char( F )=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在 F 的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当 B 1 , B 2 : : --> V → → --> V ∗ ∗ --> {\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} 相等，是旋钮对称的当且仅当 B 1 = − − --> B 2 {\displaystyle B_{1}=-B_{2}} 。char( F ) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

其中 B * 是 B 的转置映射。

不同空间的推广

这套理论有很大一部分可推广到双线性映射的情形：

此时仍有从 V 到 W 的对偶、及从 W 到 V 的对偶的映射。当 V , W 皆有限维，则只要其中之一是同构，另一个映射也是同构。在此情况下 B 称作 完美配对 。

张量积关系

由张量积的泛性质， V {\displaystyle V} 上的双线性形式一一对映至线性映射 V ⊗ ⊗ --> V → → --> F {\displaystyle V\otimes V\rightarrow F} ：若 B {\displaystyle B} 是 V {\displaystyle V} 上的双线性形，则相应的映射由下式给出

所有从 V ⊗ ⊗ --> V {\displaystyle V\otimes V} 到 F {\displaystyle F} 的线性映射构成 V ⊗ ⊗ --> V {\displaystyle V\otimes V} 的对偶空间，此时双线性形式遂可视为下述空间的元素：

同理，对称双线性形式可想成二次对称幂 S V * 的元素，而交代双线性形式则可想成二次外幂Λ V * 的元素。

参考

双线性映射

多线性映射

二次方程式

半双线性形式

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