函数的同伦

给定两个拓扑空间X{\displaystyle X\,\!} 和 Y{\displaystyle Y\,\!}。考虑两个连续函数f,g:X→ → -->Y{\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}，若存在一个连续映射 H:X× × -->[0,1]→ → -->Y{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!} 使得

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->X,H(x,0)=f(x){\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->X,H(x,1)=g(x){\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}

则称f,g{\displaystyle f,\,g}（在Y{\displaystyle Y}里）同伦。

换言之：每个参数t{\displaystyle t}对应到一个函数 ht:X→ → -->Y,x↦ ↦ -->H(x,t){\displaystyle h_{t}\,:\,X\rightarrow Y,\,x\mapsto H(x,t)\,\!} ；随着参数值t{\displaystyle t\,\!}从 0 到 1 变化，H{\displaystyle H\,\!} 连续地从 f{\displaystyle f\,\!}变化到g{\displaystyle g\,\!}

另一种观点是：对每个x∈ ∈ -->X{\displaystyle x\in X\,\!}，函数 H{\displaystyle H\,\!} 定义一条连接 f(x){\displaystyle f(x)\,\!} 与 g(x){\displaystyle g(x)\,\!}的路径：

例一：取 X=R{\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}, Y=R{\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}, f(x)=1{\displaystyle f(x)=1\,\!} 及 g(x)=− − -->1{\displaystyle g(x)=-1\,\!}。则f{\displaystyle f\,\!} 与 g{\displaystyle g\,\!} 透过下述函数在 Y{\displaystyle Y\,\!} 中同伦。

例二：取X=[0,1]{\displaystyle X=[0,1]\,\!}、Y=C{\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}、f(x)=e2iπ π -->x{\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!} 及 g(x)=0{\displaystyle g(x)=0\,\!}. f{\displaystyle f\,\!}描绘一个以原点为圆心之单位圆； g{\displaystyle g\,\!}停在原点。f{\displaystyle f\,\!} 与 g{\displaystyle g\,\!} 透过下述连续函数同伦：

函数间的同伦是C(X,Y){\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)\,\!}（即从 X 到 Y 全体连续函数的集合）上的等价关系。同伦的初步应用之一，是借由环路的同伦定义何谓单连通。

相对同伦

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设f,g:X→ → -->Y{\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}是连续函数，固定子空间 K⊂ ⊂ -->X{\displaystyle K\subset X}；若存在前述同伦映射 H:X× × -->[0,1]→ → -->Y{\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}，满足：

H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x){\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}

∀ ∀ -->k∈ ∈ -->KH(k,t)=f(k)=g(k){\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}

则称 f,g{\displaystyle f,g} 相对于 K{\displaystyle K} 同伦。若取 K=∅ ∅ -->{\displaystyle K=\emptyset }，则回到原先的同伦定义。

空间的同伦等价

空间的连续变化：咖啡杯与甜甜圈

给定两个拓扑空间E{\displaystyle E\,\!} 与 F{\displaystyle F\,\!}，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射f:E→ → -->F{\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}与g:F→ → -->E{\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}，使得：

g∘ ∘ -->f{\displaystyle g\circ f\,\!} 同伦到 E{\displaystyle E\,\!} 的恒等映射 idE{\displaystyle \mathrm {id} _{E}}。

f∘ ∘ -->g{\displaystyle f\circ g\,\!} 同伦到 F{\displaystyle F\,\!} 的恒等映射 idF{\displaystyle \mathrm {id} _{F}}。

同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：

例三：

一个平面上的圆或椭圆同伦等价到C∗ ∗ -->{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}，即去掉一点的平面。

线段[a,b]{\displaystyle [a,b]\,\!}、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕

同痕是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数f:X→ → -->Y{\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!} 和 g:X→ → -->Y{\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!} 是同胚，并要求两者间可用一族同胚映射相连。

定义如次：f{\displaystyle f\,\!} 与 g{\displaystyle g\,\!}被称为同痕的，当且仅当存在连续映射H:X× × -->[0,1]→ → -->Y{\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}使之满足：

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->X,H(x,0)=f(x){\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}

∀ ∀ -->x∈ ∈ -->X,H(x,1)=g(x){\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}

对所有t∈ ∈ -->[0,1]{\displaystyle t\in [0,1]\,\!}，映射ht(x)=H(x,t){\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}是个同胚映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。

参见

同伦范畴

同伦扩展性质

同伦提升性质

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