定义

矢量空间

实值函数ƒ定义在区间[a, b] ⊂ "R的总变差是一维参数曲线x → ƒ(x) , x ∈ [a,b]的弧长。连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出

任意实值或虚值函数ƒ定义在区间[a,b]上的总变差，由

定义。其中P为区间[a,b]中的所有分划.

定义在有界区域Ω Ω -->⊂ ⊂ -->Rn{\displaystyle \scriptstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}上的实值可积函数ƒ的总变差,定义为

其中 Cc1(Ω Ω -->,Rn){\displaystyle \scriptstyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, ∥ ∥ -->∥ ∥ -->L∞ ∞ -->(Ω Ω -->){\displaystyle \scriptstyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}是本质上确界范数。

若ƒ可微，上式可简化为

度量空间

在一个度量空间(Ω Ω -->,Σ Σ -->){\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}上，集函数μ μ -->:Σ Σ -->→ → -->R{\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow \mathbb {R} }，其总变差为：

其中π π -->{\displaystyle \pi }为E{\displaystyle E}的划分。 如果μ μ -->{\displaystyle \mu }是符号测度，通过汉分解定理可知：

可微定义的证明

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理

在假设条件下，下面的等式成立：

引理证明

由高斯散度定理∫ ∫ -->Ω Ω -->divR=∫ ∫ -->∂ ∂ -->Ω Ω -->R⋅ ⋅ -->n{\displaystyle \int \limits _{\Omega }{\text{div}}\mathbf {R} =\int \limits _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }. 将R:=fφ φ -->{\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }代入，可得

由于在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }的边界上φ φ -->=0{\displaystyle \mathbf {\varphi } =0},从而

注意到div(fφ φ -->)=fdivφ φ -->+∇ ∇ -->f⋅ ⋅ -->φ φ -->{\displaystyle {\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=f{\text{div}}\mathbf {\varphi } +\nabla f\cdot \varphi }代入上式，移项即得

如果函数f{\displaystyle f}的总变差有限，则称函数f{\displaystyle f}为有界变差函数.

参阅

有界变差

Total variation diminishing

总变差规则化

二次变差

外部链接

理论

单变量

Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function",Springer-VerlagOnline Encyclopaedia of Mathematics.

"Total variation" on Planetmath.

多变量

Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function",Springer-VerlagOnline Encyclopaedia of Mathematics.

Boris I. Golubov "Arzelà variation", "Fréchet variation", "Hardy variation", "Pierpont variation", "Tonelli plane variation", "Vitali variation", voices from theSpringer-VerlagOnline Encyclopaedia of Mathematics.

测度论

Rowland, Todd. "Total Variation". FromMathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.

"Jordan decomposition" on Planetmath.

概率论

M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums",discussion paper0034 of theStatistic Instituteof the "Université Catholique de Louvain".

应用

Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga,The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007  (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005),Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).

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