历史

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊 数学分析 （Mathematische Annalen）发表的论文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern 中明确阐述。

群同态基本定理

我们首先叙述群论中的同态基本定理，他们的形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同构基本定理

群同构第一定理

给定一个群同态 f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\to G"} ，根据群同态第一基本定理，我们可以把 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的核，使 f {\displaystyle f} 变成单射。

直观来讲，把一个群 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的子群 H {\displaystyle H} 相当于把 H {\displaystyle H} 里的元素看成0。把 f {\displaystyle f} 的核除掉后，我们使得 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 只在 x = 0 {\displaystyle x=0} 时才会成立，这是 f {\displaystyle f} 的单射性的等价叙述。

我们必须先确定商群具有群的结构，才可以对 G / Ker ⁡ ⁡ --> f → → --> G ′ {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G"} 进行讨论。

定理： 给定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 两个群，和 f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 群同态。则 Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是一个 G {\displaystyle G} 的正规子群。

证明： 记 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 为 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 的运算符号，记 e {\displaystyle e} 和 e ′ {\displaystyle e"} 他们的单位元，我们可以验证 Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 在共轭运算下封闭，即对于所有 x ∈ ∈ --> G {\displaystyle x\in G} 、所有 h ∈ ∈ --> Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f} ，有 x ⋅ ⋅ --> h ⋅ ⋅ --> x − − --> 1 ∈ ∈ --> Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f} 。

我们有 f ( x ⋅ ⋅ --> h ⋅ ⋅ --> x − − --> 1 ) = f ( x ) ⋅ ⋅ --> f ( h ) ⋅ ⋅ --> f ( x − − --> 1 ) {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})} 。由于 h {\displaystyle h} 在 Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 里面，即 f ( h ) = e ′ {\displaystyle f(h)=e"} ，我们推论 f ( x ⋅ ⋅ --> h ⋅ ⋅ --> x − − --> 1 ) = f ( x ) ⋅ ⋅ --> f ( x − − --> 1 ) = f ( x ⋅ ⋅ --> x − − --> 1 ) = f ( e ) = e ′ {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e"} 。因此， x ⋅ ⋅ --> h ⋅ ⋅ --> x − − --> 1 {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}} 在 Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 里面，故 Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正规子群。

Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正规子群的这个性质让我们可以在商群 G / Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 上定义一个与 G {\displaystyle G} 的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故，群同态 f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 诱导出群同构 f ^ ^ --> : G / Ker ⁡ ⁡ --> f → → --> Im ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f} 。

我们有以下的定理：

群同构第一定理 给定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 两个群， f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 群同态，则 f {\displaystyle f} 诱导出一个从 G / Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 打到 f ( G ) {\displaystyle f(G)} 的群同构。

证明： 记 H {\displaystyle H} 为 f {\displaystyle f} 的核。我们定义 f ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {f}}} 为 f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)} .

函数 f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}定义良好义良好，即 f ^ ^ --> ( x H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)} 只依赖于 x H {\displaystyle xH} 而与代表 x {\displaystyle x} 的选择无关。理由是，若 y ∈ ∈ --> G {\displaystyle y\in G} 是 x H {\displaystyle xH} 的一个代表，即若 x H = y H {\displaystyle xH=yH} ，则 x y − − --> 1 ∈ ∈ --> H = Ker ⁡ ⁡ --> f {\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f} ，所以 f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ，从而 f ^ ^ --> ( x H ) = f ^ ^ --> ( y H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)} 。

由商群运算的定义， f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 是一个群同态。

群同态 f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 满射：对于所有 y ∈ ∈ --> f ( G ) {\displaystyle y\in f(G)} ，存在 x ∈ ∈ --> G {\displaystyle x\in G} 使得 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ，由此 f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) = y {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y} 。

群同态 f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 单射。理由是：考虑 f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 的核里的任意元素 x H {\displaystyle xH} ，则 e ′ = f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle e"={\widehat {f}}(xH)=f(x)} ，即 x {\displaystyle x} 在 f {\displaystyle f} 的核 H {\displaystyle H} 里面。又 x H = H {\displaystyle xH=H} 是 G / H {\displaystyle G/H} 的单位元。

这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合，以下为示意图

交换图

群同构第二定理

群同构第二定理： 给定群 G {\displaystyle G} 、其正规子群 N {\displaystyle N} 、其子群 H {\displaystyle H} ，则 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正规子群，且我们有群同构如下： H / ( H ∩ ∩ --> N ) ≃ ≃ --> H N / N {\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}

证明：

必须先证明 H N {\displaystyle HN} 是一个正规子群、 H {\displaystyle H} 是一个子群才能讨论商群 H N / N {\displaystyle HN/N} 。

设 h n {\displaystyle hn} 和 h ′ n ′ {\displaystyle h"n"} 为 H N {\displaystyle HN} 中的两个元素。我们有 h n h ′ n ′ = h h ′ ( h ′ − − --> 1 n h ′ ) n ′ {\displaystyle hnh"n"=hh"(h"^{-1}nh")n"} ，其中 h h ′ ∈ ∈ --> H {\displaystyle hh"\in H} , h ′ − − --> 1 n h ′ ∈ ∈ --> N {\displaystyle h"^{-1}nh"\in N} (因为 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正规) 且 n ′ ∈ ∈ --> N {\displaystyle n"\in N} ，故 h n h ′ n ′ {\displaystyle hnh"n"} 在 H N {\displaystyle HN} 中，其证明了 H N {\displaystyle HN} 在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。

此外，我们有 N ⊂ ⊂ --> H N ⊂ ⊂ --> G {\displaystyle N\subset HN\subset G} 的包含关系，并且 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正规，所以也在 H N {\displaystyle HN} 中正规。

为了建构群同构，我们将使用群同构第一定理。

取 j : H ↪ ↪ --> H N {\displaystyle j:H\hookrightarrow HN} 单射群同态，定义为 j ( h ) = h {\displaystyle j(h)=h} ，取标准满射 σ σ --> : H N ↠ ↠ --> H N / N {\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N} (值域是个群，因为 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正规)。借由复合两个群同态，我们建构出一个新的群同态 f = σ σ --> ∘ ∘ --> j : H → → --> H N / N {\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N} 定义为 f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 。

群同态 f {\displaystyle f} 是满射。

理由是，设 ( h n ) N ∈ ∈ --> H N / N {\displaystyle (hn)N\in HN/N} ，其中 h ∈ ∈ --> H {\displaystyle h\in H} 且 n ∈ ∈ --> N {\displaystyle n\in N} 。由于 n {\displaystyle n} 在 N {\displaystyle N} 里面， h n N = h N {\displaystyle hnN=hN} ，故 h n N = f ( h ) {\displaystyle hnN=f(h)} 。

f {\displaystyle f} 的核是 H ∩ ∩ --> N {\displaystyle H\cap N} 。

理由是， f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 是 H N / N {\displaystyle HN/N} 的单位元，即 N {\displaystyle N} 当且仅当， h {\displaystyle h} 在 N {\displaystyle N} 里面。由于 h {\displaystyle h} 已经在 H {\displaystyle H} 里面，所以证明这个相当于证明 h {\displaystyle h} 在 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 里面。

由群同构第一定理知 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正规子群，且其诱导出的映射 f ^ ^ --> : H / ( N ∩ ∩ --> H ) → → --> H N / N {\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N} 是群同构。

如果我们弱化前提，假设 N {\displaystyle N} 的正规化子包含 H {\displaystyle H} (把相等改成包含)这个定理依然正确。

群同构第三定理

群同构第三定理： 给定群 G {\displaystyle G} ， N {\displaystyle N} 和 M {\displaystyle M} 为 G {\displaystyle G} 的正规子群，满足 M {\displaystyle M} 包含于 N {\displaystyle N} ，则 N / M {\displaystyle N/M} 是 G / M {\displaystyle G/M} 的正规子群，且有如下的群同构： ( G / M ) / ( N / M ) ≃ ≃ --> G / N . {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

证明： G / M → → --> G / N , g M ↦ ↦ --> ( g M ) N = g ( M N ) = g N {\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN} 为满射，其核为 N / M {\displaystyle N/M}

环和模上的形式

将定理中的“群”换为“ R -模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环 R 上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。

将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。

与子群的乘积 HK 相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用 H + K 而不再用 HK 表示。具体的定义是：

推广

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

第一同构定理

设 A 和 B 是两个代数结构， f 是 A 到 B 的态射，则 A 等价关系 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } ： a~b 当且仅当 f(a)=f(b) 是 A 上的一个同余类，并且 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同构于 f 的像（ B 的子代数）。

第二同构定理

设 B 是 A 的子代数， Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是 A 上的同余类。令[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是所有包含 B 种元素的同余类的集合，它是 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 的一个子集； Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 是 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 限制在 B × B 上的部分。那么[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 的子代数结构， Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 是 B 上的同余类，并且[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同构于 B/ Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 。

第三同构定理

设 A 是一个代数结构， Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 和 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 是 A 上的两个同余关系， Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 包含于 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 。则 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 定义了 A/ Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 上的一个同余类 Θ Θ --> {\displaystyle \Theta } ： [a]~[b] 当且仅当 a 与 b 关于 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同余（ [a] 表示 a 所在的 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } -等价类），并且 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同构于 (A/ Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } )/ Θ Θ --> {\displaystyle \Theta } 。

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