逻辑学上的矛盾

逻辑学上， 矛盾 、 自相矛盾 或 抵触 （contradiction）被更加特殊化的定义为同时断言一个命题和它的否定。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律，它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。

当我们说命题S与P矛盾时，意思是二者相当于A和非A的关系，也就是S与P不能同时为真、亦不能同时为假。

举例来说：“所有学生都用功”和“有些学生不用功”就是逻辑上矛盾的。

习惯上说的矛盾其实是指逻辑学上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。

利用矛盾的证明

在演绎逻辑和数学中，矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象，你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用：因为矛盾永远不能为真，所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明，你需要从一组前提构造一个有效的论证，得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假，并且论证是有效的，唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法，比如欧几里得对没有最大素数的证明，和康托尔对在0和1之间有不可数个实数的对角线证明。

涉及矛盾的悖论

矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出 任何 命题（也叫陈述）。换句话说，依据谓词演算，不管P和Q意味着什么，如果P和¬P都为真的，则Q为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。

例如，下列论证是严格有效的，就是说前提在逻辑上蕴涵结论：

前提: 5既是偶数又是奇数。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。

结论：神存在。（就是Q）。

下面的论证也是有效的：

前提: 5既是偶数又是奇数。（就是P ∧ ¬P）。

结论：神不存在。（就是¬Q）。

注意这两个论证共有的前提是错误的；5是奇数而不是偶数。所以这些论证都不是可靠的，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的，如果5既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。

这个悖论的证明

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义：

(P ∧ ¬P)为假。

所以，(P ∧ ¬P) → Q为空虚真理。

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷：

假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出：

所以 (P ∧ ¬P) → Q（条件证明）

参见

双重标准

双想

反讽

矛盾语

次协调逻辑

悖论

真理

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