基本概念与基本假设

基本概念

作用于物体的外力可分为体积力和表面力。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如引力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

基本假设

连续性：假定物体是连续的，即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，并且在整个变形过程中保持其连续性。

完全弹性：假定物体是完全弹性的，即物体在引起形变的外力去除后能完全恢复其初始的形状和尺寸，物体的形变与其所受外力具有一一对应的函数关系。

均匀性：假定物体是均匀的，即整个物体的所有部分具有相同的弹性性质。

各向同性：既定物体是各向同性的，即物体的弹性性质在所有各个方向都相同，与考察方向无关。

小变形：假定物体受力后的位移和形变是微小的，整个物体所有个点的位移都远小于物体原来的尺寸，且应变与转角都远小于1。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

基本方程

平衡方程

应力形式的静力平衡方程

∂ ∂ --> σ σ --> x ∂ ∂ --> x + ∂ ∂ --> τ τ --> y x ∂ ∂ --> y + ∂ ∂ --> τ τ --> z x ∂ ∂ --> z + X = 0 ∂ ∂ --> τ τ --> x y ∂ ∂ --> x + ∂ ∂ --> σ σ --> y ∂ ∂ --> y + ∂ ∂ --> τ τ --> z y ∂ ∂ --> z + Y = 0 ∂ ∂ --> τ τ --> x z ∂ ∂ --> x + ∂ ∂ --> τ τ --> y z ∂ ∂ --> y + ∂ ∂ --> σ σ --> z ∂ ∂ --> z + Z = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}}

张量形式

∇ ∇ --> ⋅ ⋅ --> σ σ --> + f = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}}

几何方程

应变与位移关系式

ϵ ϵ --> x = ∂ ∂ --> u ∂ ∂ --> x , γ γ --> y z = 1 2 ( ∂ ∂ --> w ∂ ∂ --> y + ∂ ∂ --> v ∂ ∂ --> z ) ϵ ϵ --> y = ∂ ∂ --> v ∂ ∂ --> y , γ γ --> z x = 1 2 ( ∂ ∂ --> u ∂ ∂ --> z + ∂ ∂ --> w ∂ ∂ --> x ) ϵ ϵ --> z = ∂ ∂ --> w ∂ ∂ --> z , γ γ --> x y = 1 2 ( ∂ ∂ --> v ∂ ∂ --> x + ∂ ∂ --> u ∂ ∂ --> y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}}

张量形式

ϵ ϵ --> = 1 2 ( u ∇ ∇ --> + ∇ ∇ --> u ) {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)}

等向性材料的应力与应变关系式(胡克定律)

ϵ ϵ --> x = 1 E [ σ σ --> x − − --> ν ν --> ( σ σ --> y + σ σ --> z ) ] , γ γ --> y z = 1 G τ τ --> y z ϵ ϵ --> y = 1 E [ σ σ --> y − − --> ν ν --> ( σ σ --> z + σ σ --> x ) ] , γ γ --> z x = 1 G τ τ --> z x ϵ ϵ --> z = 1 E [ σ σ --> z − − --> ν ν --> ( σ σ --> x + σ σ --> y ) ] , γ γ --> x y = 1 G τ τ --> x y {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{y}+\sigma _{z}\right)\right],\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu \left(\sigma _{z}+\sigma _{x}\right)\right],\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{y}\right)\right],\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}}

平面问题

平面应力问题

σ σ --> z = τ τ --> z x = τ τ --> z y = 0 {\displaystyle \sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0}

平面应变问题

ϵ ϵ --> z = γ γ --> z x = γ γ --> z y = 0 {\displaystyle \epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0}

参见

胡克定律

材料力学

结构力学

有限单元法

参考文献

外部链接

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