因子分解

完整的因子列表可以根据约数分解推导出，将幂从零不断增加直到等于这个数。例如，因为45= 3×5，45可以被3 ×5，3×5，3×5，3×5，3×5，和3×5，或者 1，5，3，9，15，和 45整除。相对应的，约数分解只包括约数因子。参见约数分解算法。

实际应用

给出两个大约数，很容易就能将它们两个相乘。但是，给出它们的乘积，找出它们的因子就显得不是那么容易了。这就是许多现代密码系统的关键所在。如果能够找到解决整数分解问题的快速方法，几个重要的密码系统将会被攻破，包括RSA公钥算法和Blum Blum Shub（英语：Blum Blum Shub）随机数发生器。

尽管快速分解是攻破这些系统的方法之一，仍然会有其它的不涉及到分解的其它方法。所以情形完全可能变成这样：整数分解问题仍然是非常困难，这些密码系统却是能够很快攻破。有的密码系统则能提供更强的保证：如果这些密码系统被快速破解（即能够以多项式时间复杂度破解），则可以利用破解这些系统的算法来快速地（以多项式时间复杂度）分解整数。换句话说，破解这样的密码系统不会比整数分解更容易。这样的密码系统包括Rabin密码系统（RSA的一个变体）以及Blum Blum Shub随机数发生器。

当今的新进展

2005年，作为公共研究一部分的有663个二进制数位之长的RSA-200已经被一种一般用途的方法所分解。

如果一个大的，有n个二进制数位长度的数是两个差不多大小相等的约数的乘积，现在还没有很好的算法来以多项式时间复杂度分解它。

这就意味着没有已知算法可以在O（n）（k为常数）的时间内分解它。但是现在的算法也是比Θ(e)快的。换句话说，现在我们已知最好的算法比指数数量级时间要快，比多项式数量级时间要慢。已知最好的渐近线运行时间是普通数域筛选法(GNFS)。时间是：

对于平常的计算机，GNFS是我们已知最好的对付n个二进制数位大约数的方法。不过，对于量子计算机，彼得·秀尔在1994年发现了一种可以用多项式时间来解决这个问题的算法。如果大的量子计算机建立起来，这将对密码学有很重要的意义。这个算法在时间上只需要O(n)，空间只要O(n)就可以了。 构造出这样一个算法只需要2n量子位。2001年，第一个7量子位的量子计算机第一个运行这个算法，它分解的数是15。

难度与复杂度

现在还不确切知道整数分解属于哪个复杂度类。

我们知道这个问题的判定问题形式（“请问N是否有一个比M小的约数?”）是在与反之中。因为不管是答案为是或不是，我们都可以用一个素因数以及该素因数的素数证明来验证这个答案。由秀尔算法可知，这个问题在BQP中。大部分的人则怀疑这个问题不在P、完全、以及反完全这三个复杂性类别中。如果这个问题可以被证明为完全或反完全，则我们便可推得=反。这将会是个很震憾的结果，也因此大多数人猜想整数分解这个问题不在上述的复杂性类别中。也有许多人尝试去找出多项式时间的算法来解决这个问题，但是都尚未成功，因此这个问题也被多数人怀疑不在P中。

有趣的是，判定一个整数是否是素数则比分解该整数简单许多。AKS算法证明前者可以在多项式时间中解决。 测试一个数是否为素数是RSA算法中非常重要的一环，因为它在一开始的时候需要找很大的素数。

整数分解算法

特殊用途算法

一个特别的因子分解算法的运行时间依赖它本身的未知因子：大小，类型等等。在不同的算法之间运行时间也是不同的。

试除法

车轮分解（英语：Wheel factorization）

波拉德RHO算法（英语：Pollard"s rho algorithm）

代数群因式分解算法（英语：Algebraic-group factorisation algorithms），其中包括Pollard"s p − 1算法（英语：Pollard"s p − 1 algorithm）、Williams" p + 1算法（英语：Williams" p + 1 algorithm）和Lenstra椭圆曲线分解法（英语：Lenstra elliptic curve factorization）

费马素数判定法

欧拉因式分解法（英语：Euler"s factorization method）

特殊数域筛选法（英语：Special number field sieve）

一般用途算法

一般用途算法的运行时间仅仅依赖要分解的整数的长度。这种算法可以用来分解RSA数。大部分一般用途算法基于平方同余方法。

Dixon算法（英语：Dixon"s algorithm）

连分数分解法（英语：Continued fraction factorization）（CFRAC）

二次筛选法（英语：Quadratic sieve）

理性筛选法（英语：Rational sieve）

普通数域筛选法

Shanks" square forms factorization（英语：Shanks" square forms factorization）（SQUFOF）

其他算法

秀尔算法

参见

素因数表

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