定义以及用法

给定流形M{\displaystyle M\,}上的微分算子L{\displaystyle L\,}，其格林函数G(x,s)s,x∈ ∈ -->M{\displaystyle G(x,s)\,s,x\in M}，为以下方程的解

其中 δ δ -->{\displaystyle \delta \,} 为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：

若L{\displaystyle L}的零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

动机

若可找到线性算符 L{\displaystyle L\,} 的格林函数 G{\displaystyle G\,}，则可将 (1) 式两侧同乘f(s){\displaystyle f(s)\,}，再对变数 s{\displaystyle s\,} 积分，可得：

由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 Lu(x){\displaystyle Lu(x)\,}，因此：

由于算符 L{\displaystyle L\,} 为线式，且只对变数 x{\displaystyle x\,} 作用，不对被积分的变数 s{\displaystyle s\,} 作用），所以可以将等号右边的算符 L{\displaystyle L\,} 移到积分符号以外，可得：

而以下的式子也会成立：

因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 f(x)，由于 L 为线性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ，就可以求出 u(x)。

并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数，则方程式 Lu = f 的解 u 为

可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程（英语：Fredholm_integral_equation）。

非齐次边界值问题的求解

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)）。

研究框架

令 L{\displaystyle L} 为一个施图姆-刘维尔算子，是一个以以下形式表示的线性微分算子

而 D 是边界条件算子

令 f(x){\displaystyle f(x)} 为在 [0,l]{\displaystyle [0,l]} 区间的连续函数，并假设以下问题

有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常解。

定理

则存在唯一解 u(x){\displaystyle u(x)\,} 满足以下方程式

而其解的计算方式如下

而中 g(x,s){\displaystyle g(x,s)\,} 即为格林函数，有以下的特性：

g(x,s){\displaystyle g(x,s)\,} 对 x{\displaystyle x\,} 及 s{\displaystyle s\,}　连续。。

对所有 x≠ ≠ -->s{\displaystyle x\neq s}, Lg(x,s)=0{\displaystyle Lg(x,s)=0\,}.

对所有 s≠ ≠ -->0,l{\displaystyle s\neq 0,l}, Dg(x,s)=0{\displaystyle Dg(x,s)=0\,}.

微分跳跃：g′(s+0,s)− − -->g′(s− − -->0,s)=1/p(s){\displaystyle g"(s_{+0},s)-g"(s_{-0},s)=1/p(s)\,}.

对称：g(x,s)=g(s,x){\displaystyle g(x,s)=g(s,x)\,}.

寻找格林函数

特征向量展开

若一微分算子 L 有一组完备的特征向量 Ψ Ψ -->n(x){\displaystyle \Psi _{n}(x)}（也就是一组函数 Ψ Ψ -->n(x){\displaystyle \Psi _{n}(x)} 及标量 λ λ -->n{\displaystyle \lambda _{n}} 使得 LΨ Ψ -->n=λ λ -->nΨ Ψ -->n{\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}} 成立）则可以由特征向量及特征值产生格林函数。

先假设函数 Ψ Ψ -->n(x){\displaystyle \Psi _{n}(x)} 满足以下的完备性：

经由证明可得下式：

若在等号两侧加上微分算子 L，则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）所要探讨的内容。

拉普拉斯算子的格林函数

先由格林定理开始：

假设线性算符 L 为拉普拉斯算子∇ ∇ -->2{\displaystyle \nabla ^{2}}，而 G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：

令格林定理中的 ψ ψ -->=G{\displaystyle \,\!\psi =G}，可得：

根据上式，可以解拉普拉斯方程∇ ∇ -->2ϕ ϕ -->(x)=0{\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x泊松0} 或泊松方程∇ ∇ -->2ϕ ϕ -->(x)=− − -->4π π -->ρ ρ -->(x){\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x诺伊曼其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)}：

已知 ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)} 在边界上的值（狄利克雷边界条件）。

已知 ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)} 在边界上的法向导数（诺伊曼边界条件）。

若想解在区域内的 ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)}，由于狄拉克δ函数的特性，(4) 式等号左边的第一项

可化简为 ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)} ，再将 (4) 式等号左边第二项 ∇ ∇ -->2ϕ ϕ -->(x′){\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x")} 用 ρ ρ -->′(x′){\displaystyle \,\!\rho "(x")} 表示，（若为泊松方程，ρ ρ -->′(x)=− − -->4π π -->ρ ρ -->(x){\displaystyle \,\!\rho "(x)=-4\pi \rho (x)}，若为拉普拉斯方程，ρ ρ -->′(x)=0{\displaystyle \,\!\rho "(x)=0}），可得：

上式即为调和函数（harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。

在静电学中，ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \,\!\phi (x)} 为电位，ρ ρ -->(x){\displaystyle \,\!\rho (x)} 为电荷密度，而法向导数 ∇ ∇ -->ϕ ϕ -->(x′)⋅ ⋅ -->dσ σ -->^ ^ -->′{\displaystyle \nabla \phi (x")\cdot d电场hat {\sigma }}"} 则为电场在法向的分量。

若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 x 或 x" 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 x 或 x" 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ，只剩下一项需计算。

在自由空间的情形下（此时可将边界条件视为：limx^ ^ -->→ → -->∞ ∞ -->ϕ ϕ -->(x)=0{\displaystyle \lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0}），拉普拉斯算子的格林函数为：

若 ρ ρ -->(x^ ^ -->){\displaystyle \,\!\rho ({\hat {x}})} 为电荷密度，则可得到电荷密度和电位 ϕ ϕ -->(x^ ^ -->){\displaystyle \,\!\phi ({\hat {x}})} 的公式：

范例

针对以下微分方程

找出格林函数。

第 1 步

根据定理中，格林函数的特性 2，可得

在 x < s 时因特性 3 可知

（此时不需考虑 g(π π -->2,s)=0{\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0} 的式子，因 x≠ ≠ -->π π -->2{\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}}）在 x > s 时因特性 3 可知

（此时不需考虑 g(0,s)=0{\displaystyle \quad g(0,s)=0} 的式子，因 x≠ ≠ -->0{\displaystyle x\neq 0}）整理上述的结果，可得以下的式子。

第 2 步

依格林函数的特性，找出 a(s)和b(s).

根据特性 1，可得

根据特性 4，可得

解上述二式，可以求出 a(s)和b(s)

因此格林函数为

对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。

其他举例

若流形为 R，而线性算符 L 为 d/dx，则单位阶跃函数H(x − x0) 为 L 在 x0 处的格林函数。

若流形为第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子，并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件，而在y = 0 处有诺依曼边界条件，则其格林函数为

参见

离散格林函数（英语：离散拉普拉斯算子），可定义于图以及网上。

脉冲响应

格林恒等式

基尔霍夫积分定理

参考

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函数解静电场的边界值问题）

A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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