历史

皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。

戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。

1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值；他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。

莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是 ∫ ∫ --> p a t h v 2 d t {\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!} 。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到有心力作用时，正确的抛射体运动。

在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。

概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程，也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或引力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。

作用量形式

在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。

作用量（泛函）

最常见的作用量是一个泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} ，输入是参数为时间与空间的函数，输出是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} ， t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 之间广义坐标 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 的演变。

作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} 对于时间的积分：

根据哈密顿原理，正确的演化 q t r u e ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!} 要求平稳的作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。

简略作用量（泛函）

简略作用量 也是一个泛涵，通常标记为 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀引力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 定义为广义动量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 延著路径的积分：

其中， q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 是平稳的。

哈密顿主函数

哈密顿主函数 是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数 S {\displaystyle S\,\!} 与泛涵 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 有密切的关系。固定住初始时间 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} 和其对应的坐标点 q 1 {\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!} ；而准许时间上限 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 和其对应的坐标点 q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} 的改变。取 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 和 q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} 为函数 S {\displaystyle S\,\!} 的参数。换句话说，作用量函数 S {\displaystyle S\,\!} 是拉格朗日量对于时间的不定积分：

更加地，可以证明 P {\displaystyle \mathbf {P} \,\!} 是某常数矢量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 。所以，

哈密顿特征函数

假若，哈密顿量 H {\displaystyle H\,\!} 是守恒的；

其中， α α --> {\displaystyle \alpha \,\!} 是常数。

设定 哈密顿特征函数 W {\displaystyle W\,\!} 为

则哈密顿特征函数 W {\displaystyle W\,\!} 是一个作用量。

更加地，

对于时间积分：

这正是简略作用量的方程。

哈密顿-雅可比方程解答

哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数 S ( q , P , t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!} 分出的每一个项目 S k ( q k , P , t ) {\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!} 也称为"作用量"。

作用量-角度坐标

这变数 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 称为广义坐标 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 的作用量；相应的正则坐标是 角度 w k {\displaystyle w_{k}\,\!} 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量；这里，只有一个标量变数 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 被用来积分。作用量 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 等于，随着 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 沿着闭路径， S k ( q k ) {\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!} 的改变。应用于几个有趣的物理系统， J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 或者是常数，或者改变非常地慢。因此， J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 时常应用于摄动理论与缓渐不变量的研究。

哈密顿流作用量

参阅重言1形式。

数学导引

哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 的运动是正确运动，则作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 的一次变分 δ δ --> S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!} 为零。用数学方程表示，定义作用量为

其中， L ( q , q ˙ ˙ --> , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 q = ( q 1 , q 2 , … … --> , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!} 是时间的函数。

假若， q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 乃系统的正确运动，则 δ δ --> S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!} 。

从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 是系统的正确运动，让 ε ε --> ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 成为一个摄动 δ δ --> q {\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!} ；摄动在轨道两个端点的值是零：

取至 ε ε --> ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为

这里，将拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} 展开至 ε ε --> ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目，

边界条件 ε ε --> ( t 1 ) = ε ε --> ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!} 使第一个项目归零。所以，

要求作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 平稳。这意味着，对于正确运动的任意摄动 ε ε --> ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} ，一次变分 δ δ --> S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!} 必须等于零：

请注意，还没有对广义坐标 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 做任何要求。现在，要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程：

在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

对应于广义坐标 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 的广义动量 p k {\displaystyle p_{k}\,\!} ，又称为 共轭动量 ，定义为

假设 L {\displaystyle L\,\!} 不显性地跟广义坐标 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 有关，

则广义动量 p k = d e f ∂ ∂ --> L ∂ ∂ --> q ˙ ˙ --> k {\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!} 是常数。在此种状况，坐标 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 称为 循环坐标 极坐标系言，如果用极坐标系 ( r , θ θ --> , h ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!} 来描述一个粒子的平面运动，而 L {\displaystyle L\,\!} 与 θ θ --> {\displaystyle \theta \,\!角动量无关，则广义动量是守恒的角动量。

参阅

拉格朗日力学

哈密顿力学

诺特定理

爱因斯坦-希尔伯特作用量

最小作用量原理

参考文献

Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.这领域最常引用的参考书。

列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.这本书一开始就讲解最小作用量原理。

Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。

Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3,OCLC35269891, pages 840–842。

Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早书。

Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。

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