模群的艾森斯坦级数

固定整数 k>1{\displaystyle k>1}。对上半平面上的复数 τ τ -->{\displaystyle \tau }，定义艾森斯坦级数 G2k{\displaystyle G_{2k}} 为

此级数是上半平面上的全纯函数，此外它更是模群 Γ Γ -->:=SL(2,Z){\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} 的权 2k{\displaystyle 2k} 模形式。换言之，若 a,b,c,d∈ ∈ -->Z{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} } 满足 ad− − -->bc=1{\displaystyle ad-bc=1}，则

递回关系

模形式理论中的一个基本事实是：模群 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 的模形式俱可表为 G4{\displaystyle G_{4}} 与 G6{\displaystyle G_{6}} 的多项式。作为特例，以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成 G4,G6{\displaystyle G_{4},G_{6}} 的多项式。

置 dk:=(2k+3)k!G2k+4{\displaystyle d_{k}:=(2k+3)k!G_{2k+4}}，遂有下述关系式：

在此 (nk){\displaystyle {n \choose k}} 是二项式系数而 d0=3G4{\displaystyle d_{0}=3G_{4}}、d1=5G6{\displaystyle d_{1}=5G_{6}}。

函数 dk{\displaystyle d_{k}} 可以表示魏尔斯特拉斯℘ ℘ -->{\displaystyle \wp } 函数：

傅立叶展开

置 q=e2π π -->iτ τ -->{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}。由于艾森斯坦级数是模群的模形式，故有傅立叶展开式

其中的傅立叶系数 c2k{\displaystyle c_{2k}} 是

此处的 Bn{\displaystyle B_{n}} 是伯努利数，ζ ζ -->(z){\displaystyle \zeta (z)}是黎曼ζ函数，而 σ σ -->p(n){\displaystyle \sigma _{p}(n)} 是 n{\displaystyle n} 的正因数的 p{\displaystyle p} 次幂和。

当 |q|<1{\displaystyle |q|<1}，对 q{\displaystyle q} 之和亦可化成兰伯特级数

有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数：

拉马努金公式

拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式：定义

则有

文献

Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2

Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0

Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)

Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

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