叙述

柯西-施瓦茨不等式叙述，对于一个内积空间所有向量 x 和 y ，

其中 ⟨ ⟨ --> ⋅ ⋅ --> , ⋅ ⋅ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示内积，也叫点积。等价地，将两边开方，引用向量的范数，不等式可写为

另外，等式成立当且仅当 x 和 y 线性相关（或者在几何上，它们是平行的，或其中一个向量的模为0）。

若 x 1 , … … --> , x n ∈ ∈ --> C {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} } 和 y 1 , … … --> , y n ∈ ∈ --> C {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} } 有虚部，内积即为标准内积，用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数，甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

特例

对欧几里得空间 R ，有

等式成立时：

也可以表示成

( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ ⋯ --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ ⋯ --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

证明则须考虑一个关于 t {\displaystyle t} 的一个一元二次方程式 ( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ ⋯ --> + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}

很明显的，此方程式无实数解或有重根，故其判别式 D ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle D\leq 0}

注意到

( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ ⋯ --> + ( x n t + y n ) 2 ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}

⇒ ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + x n 2 ) t 2 + 2 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ ⋯ --> + x n y n ) t + ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ ⋯ --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}

则

D = 4 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ ⋯ --> + x n y n ) 2 − − --> 4 ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ ⋯ --> + y n 2 ) ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}

即

( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ ⋯ --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ ⋯ --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

( x 1 t + y 1 ) 2 + ⋯ ⋯ --> + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}

( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ⋯ ⋯ --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ ⋯ --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

而等号成立于判别式 D = 0 {\displaystyle D=0} 时

也就是此时方程式有重根，故

x 1 y 1 = x 2 y 2 = ⋯ ⋯ --> = x n y n . {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}

对平方可积的复值函数，有

这两例可更一般化为赫尔德不等式。

在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至拉格朗日恒等式

矩阵不等式

设 x , y {\displaystyle x,y} 为列向量，则 | x ∗ ∗ --> y | 2 ≤ ≤ --> x ∗ ∗ --> x ⋅ ⋅ --> y ∗ ∗ --> y {\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}

设 A {\displaystyle A} 为 n × × --> n {\displaystyle n\times n} Hermite阵，且 A ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle A\geq 0} ，则 | x ∗ ∗ --> A y | 2 ≤ ≤ --> x ∗ ∗ --> A x ⋅ ⋅ --> y ∗ ∗ --> A y {\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}

设 A {\displaystyle A} 为 n × × --> n {\displaystyle n\times n} Hermite阵，且 A > 0 {\displaystyle A>0} ，则 | x ∗ ∗ --> y | 2 ≤ ≤ --> x ∗ ∗ --> A x ⋅ ⋅ --> y ∗ ∗ --> A − − --> 1 y {\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}

若 q i ≥ ≥ --> 0 , ∑ ∑ --> i q i = 1 {\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1} ，则 ( x ∗ ∗ --> A ∑ ∑ --> i a i q i x ) ≤ ≤ --> ∏ ∏ --> i ( x ∗ ∗ --> A a i x ) q i {\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}

复变函数中的柯西不等式

设 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在区域D及其边界上解析， a {\displaystyle a} 为D内一点，以 a {\displaystyle a} 为圆心做圆周 C R : | z − − --> a | = R {\displaystyle C_{R}:|z-a|=R} ，只要 C R {\displaystyle C_{R}} 及其内部G均被D包含，则有：

| f ( n ) ( z 0 ) | ≤ ≤ --> n ! M R n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}

其中，M是 | f ( z ) | {\displaystyle |f(z)|} 的最大值， M = max | x − − --> a | ∈ ∈ --> R | f ( x ) | {\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|} 。

其它推广

∑ ∑ --> i = 1 n ( ∑ ∑ --> j = 1 m a i j ) 2 ≤ ≤ --> ∑ ∑ --> j = 1 m ∑ ∑ --> i = 1 n a i j 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}

m ≥ ≥ --> α α --> > 0 , ( ∑ ∑ --> i = 1 n ∏ ∏ --> j = 1 m a i j ) α α --> ≤ ≤ --> ∏ ∏ --> j = 1 m ∑ ∑ --> i = 1 n a i j α α --> {\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}

参见

三角不等式

内积空间

注释

^ x ∗ ∗ --> {\displaystyle x^{*}} 表示x的共轭转置。

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