欧拉角

欧拉是最早试图用数学表达定向的科学家。他设想出三个有顺序的参考系，按照先后顺序，可以从前面的参考系绕着转动轴转动到后面的参考系。他发现，从任何一个参考系，经过三种特定的转动，可以转到三维空间内任何参考系。这三种特定转动的角度就是欧拉角。

旋转向量

欧拉意识到，两个连续的转动可以合成为一个绕着不同转动轴的转动。所以，前述的三个欧拉角转动等价于一个转动。那时，转动所环绕的转动轴，很不容易计算出来。一直到矩阵理论的发展，才有较容易的方法来计算转动轴。

根据这些理论，他新创了一个向量方法来描述任何转动；转动的转动轴与向量同线，向量的量值就是转动角度，称此向量为旋转向量。任何定向可以用一个相对于参考系的旋转向量来表示。

旋转矩阵

随着矩阵理论的发表，欧拉旋转定理被重新改写。每一个转动都可以用正交矩阵来代表，又称为旋转矩阵或方向余弦矩阵。

欧拉向量是旋转矩阵的特征向量（一个旋转矩阵必定有唯一的，实值的特征值）。两个旋转矩阵的乘积等于对应的转动的合成。因此，定向可以用从参考系的一个转动所相应的旋转矩阵来表示。

在n-维空间里，一个非对称的物体的位形空间是SO(n)× R。定向可以用此物体的切向量的基来代表。每一个向量所指的方向决定此物体的定向。

定向四元数

定向四元数方法是另外一种描述转动的方法。等价于旋转矩阵方法，定向四元数除去了旋转矩阵里面的重复资料。所以，定向四元数方法比较简实与有效率。

导航角

导航角的三个角是偏航角，俯仰角，与滚动角。导航角又称为泰特-布莱恩角或卡丹角。在航空工程学里，这些角通常称为欧拉角，很容易造成与数学的欧拉角之间的混淆。

刚体定向

在三维空间里，一个刚体的定向会因转动而改变。当转动时，除了包含于转动轴的点以外，刚体内部所有的点都会改变位置。

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