简说

在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，开区间 (10,20){\displaystyle (10,20)} 表示所有在 10{\displaystyle 10} 和 20{\displaystyle 20} 之间的实数，但不包括 10{\displaystyle 10} 或 20{\displaystyle 20}。另一方面，闭区间 [10,20]{\displaystyle [10,20]} 表示所有在 10{\displaystyle 10} 和 20{\displaystyle 20} 之间的实数，以及 10{\displaystyle 10} 和 20{\displaystyle 20}。

严格定义

区间的定义可以推广到任何全序集T{\displaystyle T} 的子集S{\displaystyle S}，使得若 x{\displaystyle x} 和 y{\displaystyle y} 均属于 S{\displaystyle S}，且 x<z<y {\displaystyle x，则 z{\displaystyle z} 亦属于 S{\displaystyle S}。

特别重要的情况是当 T=R{\displaystyle T=\mathbb {R} }。

R{\displaystyle \mathbb {R} } 的区间有以下十一种（a {\displaystyle a\ } 和 b {\displaystyle b\ } 为实数且 a<b {\displaystyle a）：

(a,b)={x|a<x<b} {\displaystyle (a,b)=\{x|a

[a,b]={x|a⩽ ⩽ -->x⩽ ⩽ -->b}{\displaystyle [a,b]=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}}

[a,b)={x|a⩽ ⩽ -->x<b}{\displaystyle [a,b)=\{x|a\leqslant x

(a,b]={x|ab}{\displaystyle (a,b]=\{x|a

(a,∞ ∞ -->)={x|x>a}{\displaystyle (a,\infty )=\{x|x>a\}}

[a,∞ ∞ -->)={x|x⩾ ⩾ -->a}{\displaystyle [a,\infty )=\{x|x\geqslant a\}}

(− − -->∞ ∞ -->,b)={x|x<b}{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x

(− − -->∞ ∞ -->,b]={x|x⩽ ⩽ -->b}{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leqslant b\}}

(− − -->∞ ∞ -->,∞ ∞ -->)=R{\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} } 自身，实数集

[a,a]={a} {\displaystyle [a,a]=\{a\}\ }，即单元素集合

∅ ∅ -->{\displaystyle \varnothing 空集即空集

＃1、＃5、＃7、＃9和＃11称为“开区间”（因为它们是开集），＃2、＃6、＃8、＃9、＃10和＃11称为“闭区间”（因为它们是闭集）。＃3和＃4有时称为“半开区间”或“半闭区间”。＃9和＃11同时为“开”和“闭”，并非“半开”、“半闭”。

＃1、＃2、＃3、＃4、＃10和＃11为有界区间；＃5、＃6、＃7、＃8和＃9为无界区间。＃10为单点。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集 [a,b] {\displaystyle [a,b]\ } 及 [c,d] {\displaystyle [c,d]\ }：

[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d] {\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]\ }

[a,b]− − -->[c,d]=[a− − -->d,b− − -->c] {\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]\ }

[a,b]× × -->[c,d]=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min(ac,ad,bc,bd),\max(ac,ad,bc,bd)]\ }

[a,b]/[c,d]=[min(ac,ad,bc,bd),max(ac,ad,bc,bd)] {\displaystyle [a,b]/[c,d]=\left[\min \left({\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right),\max \left({\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right)\right]\ }

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集 X(Y+Z){\displaystyle X(Y+Z)} 是 XY+XZ{\displaystyle XY+XZ} 的子集。

另一种写法

在法国及其他一些欧洲国家，和国际标准化组织编制的ISO 31-11，用 ]{\displaystyle ]}[{\displaystyle [} 代替 ({\displaystyle (}){\displaystyle )} 来表示开区间，例如：

]a,b[ ={x|a<x<b}{\displaystyle ]a,b[\ =\{x|a

[a,b]={x|a⩽ ⩽ -->x⩽ ⩽ -->b}{\displaystyle [a,b]=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}}

[a,b[ ={x|a⩽ ⩽ -->x<b}{\displaystyle [a,b[\ =\{x|a\leqslant x

]a,b]={x|ab}{\displaystyle ]a,b]=\{x|a

另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。例如 [1,2.3]{\displaystyle [1,2.3]} 就要写成 [1;2,3]{\displaystyle [1;2,3]}。否则，若只把小数点的句点写成逗号，之前的例子就会变成 [1,2,3]{\displaystyle [1,2,3]} 了。这时就不能知道究竟是 1.2{\displaystyle 1.2} 与 3{\displaystyle 3} 之间, 还是 1{\displaystyle 1} 与 2.3{\displaystyle 2.3} 之间的闭区间了。

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