表示法

乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

5 × × --> 2 {\displaystyle 5\times 2}

5 ⋅ ⋅ --> 2 {\displaystyle 5\cdot 2}

( 5 ) 2 {\displaystyle (5)2} ， 5 ( 2 ) {\displaystyle 5(2)} ， ( 5 ) ( 2 ) {\displaystyle (5)(2)} ， 5 [ 2 ] {\displaystyle 5[2]} ， [ 5 ] 2 {\displaystyle [5]2} ， [ 5 ] [ 2 ] {\displaystyle [5][2]}

5 ∗ ∗ --> 2 {\displaystyle 5*2}

古代常用的方法是将两个数并排，没有什么特别的符号来表示乘法。

以“ × × --> {\displaystyle \times } ”表廉·奥特雷德特雷德最先使用，分别于一篇现时相信是于1618年他写的附录，和约于1628年写作的、1631年出版的书《数学之钥》（ Clavis Mathematicae ）内出现。以“ × × --> {\displaystyle \times } ”表示乘法是现在最流行的写法。在电脑文书中，也有为方便键盘英文字母小写英文字母“x”替代“×”。

以“ ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } ”表示乘法现德国于法国和法国等国家，托马斯·哈里奥特里奥特在1631年出版的著作使用，但对这个用法较有影响力莱布尼兹布尼兹。

因为星号“ ∗ ∗ --> {\displaystyle *} ”是键盘必备的符号，电脑常用星号表示乘号，第一次在计算机使用这个用法的是FORTRAN（福传）编程语言，事实上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在 Teutsche Algebra 一书中首次使用；但笔算时很少使用星号。

代数中，乘号经常省略掉，形式如 5 x {\displaystyle 5x} 和 x y {\displaystyle xy} 。若变量多于一个字母，容易使人混淆。这种表示法不会用于只有数字时，即 5 × × --> 2 {\displaystyle 5\times 2} 不会表示成 52 {\displaystyle 52} 。

乘积可以用大写希腊字母Π（Pi， Π Π --> {\displaystyle \Pi } ）来表示：

定义

两个整数的积是：

这是“将m加到自己n次”的简化说法。更清晰来说：

使用上面的定义，我们很易找到一些乘法的性质：

交换律： x y = y x {\displaystyle xy=yx}

结合律： ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (xy)z=x(yz)}

分配律： x ( y + z ) = x y + x z {\displaystyle x(y+z)=xy+xz}

将任何数乘以一都会等于该数本身，即 1 x = x {\displaystyle 1x=x} ，称为单位律。

将任何数乘以零，即是什么也没做过，结果就是零，即 0 x = 0 {\displaystyle 0x=0} 。

当 x {\displaystyle x} 是量， y {\displaystyle y} 是自然数，乘法的递归定义：

历史

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

计算

计算机有特别的算法来处理大数之间的相乘，见乘法算法。

中国小学生通常要背诵九九乘法表来学习乘法。

史丰收速算法提出了用“本个 +后进”的方式来计算乘法。

尺规作图作乘法的方法：给定长为 1 {\displaystyle 1} 的线，以及两条线 A B {\displaystyle AB} 和 A C {\displaystyle AC} ，求长度为该两条的线长度的积的线。解法：设该两条线分别为 A B {\displaystyle AB} 和 A C {\displaystyle AC} ， A B {\displaystyle AB} 垂直 A C {\displaystyle AC} 于 A {\displaystyle A} 。在 A B {\displaystyle AB} 上画出点 D {\displaystyle D} 使 D A = 1 {\displaystyle DA=1} ，连 D {\displaystyle D} 、 C {\displaystyle C} 为 D C {\displaystyle DC} 。画一条通过 B {\displaystyle B} 、平行 D C {\displaystyle DC} 的线，延长 A C {\displaystyle AC} ，此两条线的交于 E {\displaystyle E} ， E A {\displaystyle EA} 即为所求之线。

参考

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