族谱网 头条 人物百科

速度

2020-10-16
出处:族谱网
作者:阿族小谱
浏览:558
转发:0
评论:0
定义物体在一段时间ΔΔ-->t{displaystyleDeltat}内的速度均速度v¯¯-->{displaystyle{bar{boldsymbol{v}

定义

物体在一段时间 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 内的 速度均速度 v ¯ ¯ --> {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}} 是它在这段时间里的位移 Δ Δ --> r {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {r}}} 和时间间隔之比 :

其中的位移 Δ Δ --> r {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {r}}} 是矢量,表示物体的位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 从开始到结束的变化 。平均速度的大小一般不是物体在这段时间里的平均速率。比如一个以恒定速率做圆周运动一周的物体,由于最后的位置和初始的位置相同,总位移是0,所以平均速度是0,但平均速率不等于0。平均速度总小于等于平均速率。

平均速度是对物体移动快慢和方向的粗略量度,物体在特定时刻运动的快慢和方向则用瞬时速度表示。物体在某一时刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的 瞬时速度 v ( t 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t_{0})} 定义为物体在 t 0 {\displaystyle t_{0}} 左右的很小一段时间 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 中的平均速度在 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 趋向于0时的极限。用数学的语言来说,就是位置矢量 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 在 t 0 {\displaystyle t_{0}} 时刻随时间 t {\displaystyle t} 的变化率,也就是对时间的导数 :

瞬时速度的大小(矢量的模长)等于瞬时速率;瞬时速度的方向则是物体运动曲线的切线方向: v = v e T . {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {e}}_{T}.}

其中 v {\displaystyle v} 是物体在某一点的瞬时速率, e T {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{T}} 是物体运动轨迹曲线在这一点的切向单位矢量 。

例子

直线运动

直线运动是指物体(通常简化成质点)沿着直线运动,当中并无方向的变化。通常会为这个直线指定一个正方向和一个原点,以方便描述。如果物体的速度方向与正方向相同,则记其速度为其速率(正数),反之则记其速度为速率的相反数(负数)。这种记法下,物体的位置、位移和速度都可以用实数来表示。假设物体在初始时刻 t = 0 {\displaystyle t=0} 的位置是 x 0 {\displaystyle x_{0}} ,速度为定值 v {\displaystyle v} ,那么称其做 匀速直线运动 。经过时间 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 以后,物体的位置 x f {\displaystyle x_{f}} 是: x f = x 0 + v Δ Δ --> t {\displaystyle x_{f}=x_{0}+v\Delta t} ,物体的位移是 Δ Δ --> r = v Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {r}}=v\Delta t} 。

如果物体的速度随时间均匀改变: v ( t ) = v 0 + a t {\displaystyle v(t)=v_{0}+at} ,那么称之为 匀变速直线运动 。经过时间 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 以后,物体的位置 x f {\displaystyle x_{f}} 是: x f = x 0 + v 0 Δ Δ --> t + 1 2 a Δ Δ --> t 2 {\displaystyle x_{f}=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}} ,物体的位移是 Δ Δ --> r = v 0 Δ Δ --> t + 1 2 a Δ Δ --> t 2 {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {r}}=v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}} 。

圆周运动

圆周运动是指物体沿圆周做运动。这时候物体的速度是沿圆周切线的方向的矢量。当速度大小恒定时,但方向随时间而变动,即非等速度运动,称为 匀速圆周运动 (其中的“匀速”指“匀速率”)。圆周运动的物体,其平均速度的大小和平均速率是不同的。假设物体以速率 v {\displaystyle v} 做匀速圆周运动,那么它的平均速率永远是 v {\displaystyle v} ,而它的平均速度的大小则是终点和起点构成的弦长度除以间隔的时间。

一般情况下,物体的位移是速度对时间的积分 : Δ Δ --> r = ∫ ∫ --> 0 Δ Δ --> t v ( t ) d t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {r}}=\int _{0}^{\Delta t}{\boldsymbol {v}}(t)\mathrm {d} t} 。如果物体在初始时刻 t = 0 {\displaystyle t=0} 的位置是 x 0 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}} ,那么经过时间 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 以后,物体的位置 x f {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{f}} 是: x f = x 0 + ∫ ∫ --> 0 Δ Δ --> t v ( t ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{f}={\boldsymbol {x}}_{0}+\int _{0}^{\Delta t}{\boldsymbol {v}}(t)\mathrm {d} t\,} ,平均速度是: v ¯ ¯ --> = 1 Δ Δ --> t ∫ ∫ --> 0 Δ Δ --> t v ( t ) d t {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}{\boldsymbol {v}}(t)\mathrm {d} t}

速度的分解

研究不同的物理问题时,通常会依据研究对象的特性,使用不同的坐标系。在不同的坐标系下,速度有不同的分解方式,选择坐标的方式通常以分解矢量的方便性为主。

直角坐标系

直角坐标系是我们最常用到也最直观的坐标系统如果在三维空间中架设直角坐标系O-xyz,那么一个物体的位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 可以表示成:

其中 e x , e y , e z {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{x},{\boldsymbol {e}}_{y},{\boldsymbol {e}}_{z}} 分别是x轴、y轴、z轴方向上的单位矢量。物体的速度等于位移对时间的导数 :

其中 v x , v y , v z {\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}} 是物体速度在三个坐标轴方向上的分量。速度的大小为: | v | = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle |{\boldsymbol {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}} 。

极坐标

平面中运动的物体,其速度也可以采用极坐标来表示(依照方便来选择坐标系分解)。极坐标下的速度可以分解为两个部分:径向速度,即物体到原点的距离的变化率,以及角速度,即物体位置的幅角随时间的变化率。假设物体的位置用极坐标表示为 ( r , θ θ --> ) {\displaystyle (r,\theta )} ,定义其径向单位矢量和横向单位矢量为 e r , e θ θ --> {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta }} ,那么物体的位置矢量可以表示成: r = r e r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {e}}_{r}} 。

其速度是位移对时间的导数 :

其中 d r d t e r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{r}} 称为径向速度, r d θ θ --> d t e θ θ --> {\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }} 称为横向速度 。速度的极坐标描述是依赖于物体位置的描述,因为 e r , e θ θ --> {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta }} 都是随着物体位置的改变而改变的。物体做圆周运动时, r {\displaystyle r} 是常数,所以径向速度为零,即速度永远沿着圆周切线方向;而横向速度等于 r d θ θ --> d t e θ θ --> {\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }} ,即半径乘以角速度。

如果物体在三维空间中运动,可以加入纵坐标轴z,建立圆柱坐标系: ( ρ ρ --> , θ θ --> , z ) {\displaystyle (\rho ,\theta ,z)} ,物体的位置写作: r = ρ ρ --> e ρ ρ --> + z e z {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {e}}_{\rho }+z{\boldsymbol {e}}_{z}} ,其速度为 :

球坐标

速度

球坐标的表示方式

三维空间中运动的物体,还可以用球坐标系来研究。球坐标系中,物体的速度可以分解成三个部分。除了物体的径向速度外,还有方位角速度和顶角速度,即方位角 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 和顶角 θ θ --> {\displaystyle \theta } 的变化率。假设物体的位置用球坐标表示为 ( r , θ θ --> , φ φ --> ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ,定义它的基矢: e r , e θ θ --> , e φ φ --> {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }} ,则物体的位置可以写成: r = r e r . {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {e}}_{r}.}

其速度是位移对时间的导数 :

自然坐标

如果已知物体运动轨迹,可以使用自然坐标系来描述物体的运动情况。与其他坐标系的不同是,自然坐标系中基矢的选择与物体的运动情况相关。这时候定义的基矢是: e T , e N , e B {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{T},{\boldsymbol {e}}_{N},{\boldsymbol {e}}_{B}} ,分别是切向单位矢量、主法向单位矢量(轨迹曲线在该点的密切圆所在的平面上的法矢量)和副法向单位矢量(与主法向和切矢量垂直的法向矢量)。而物体的速度是沿切向的,所以速度的表达式是:

其中v就是瞬时速率。这是最简洁的坐标表达方式。

相对速度

相对速度是指一个物体相对另一个物体运动的速度。具体来说,假设在某个参考系中,两个物体A和B的速度分别是 v A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A}} 和 v B {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B}} ,那么A相对于B的速度 v A / B {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A/B}} 就是A在B静止的参考系中的速度。经典物理学中(非相对论框架), v A / B = v A − − --> v B {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A/B}={\boldsymbol {v}}_{A}-{\boldsymbol {v}}_{B}\,} ,而B相对于A的速度 v B / A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B/A}} 是: v B / A = v B − − --> v A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B/A}={\boldsymbol {v}}_{B}-{\boldsymbol {v}}_{A}} 。 ,透过矢量的转换,利用相对速度来解决问题可以将问题简化许多。

经典物理学中的相对速度变换公式是坐标系做伽利略变换的结果。相对论框架中,需要用洛伦兹变换代替伽利略变换,因此相对速度的变换公式也不同。假设物体A的速度是 v = ( v x , v y , v z ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})} ,物体B的速度是 u = ( u x , 0 , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{x},0,0)} ,那么物体A相对于物体B的速度是 :

例如两艘飞船各自以光速 c {\displaystyle c} 的一半朝着相反的方向作直线运动,那么某一艘飞船上的人观察到另一艘飞船的相对速度就是:

相对速度是0.8倍光速,而不是光速 。

参见

四维速度,相对论中的速度表示方式;

速率


免责声明:以上内容版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者,感谢每一位的分享。

——— 没有了 ———
编辑:阿族小谱
发表评论
写好了,提交
{{item.label}}
{{commentTotal}}条评论
{{item.userName}}
发布时间:{{item.time}}
{{item.content}}
回复
举报
点击加载更多
打赏作者
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
— 请选择您要打赏的金额 —
{{item.label}}
{{item.label}}
打赏成功!
“感谢您的打赏,我会更努力的创作”
返回

更多文章

更多精彩文章
打赏
私信

推荐阅读

· 速度
量度音乐速度“Wittner”样式的电子节拍器,旋转转盘将指针调校到需要的BPM上使用。“SethThomas”样式,传统机械弹簧式的节拍器。音乐速度一般以文字或数字标记于乐曲的开端,现代习惯以每分钟多少拍(beatsperminute,BPM)作量度单位,这表示一个指定的音符,例如四分音符在一分钟内出现的次数,BPM的数值越大代表越快的速度。电子数码音乐MIDI及其它电脑音乐序列程式的档案及界面都应用了BPM来表示速度。音乐速度用词的发展在古典音乐发展的初期,作曲家开始使用一个或以上的副词来标记速度,而这些用词以意大利文居多,因为17世纪的重要作曲家都是意大利人。当时BPM值的概念尚未流行,而文字式速度标记被广泛地被应用。直到节拍器于1812年问世后,BPM值才得到普及,但仍不及文字式速度标记流通性。19世纪时BPM值通常只作为文字标记的补助,而文字标记则更倾向指示作品模糊的情感。例如P...
· 角速度
质点的角速度二维坐标系位于P点的质点相对于O点的角速度是由其速度向量"V"垂直于OP连线的分量来决定。一个质点在二维平面上的角速度是最基本的。如右图所示,假使从(O)点向(P)质点画一条直线,则该粒子的速度向量(v{\displaystyle\mathbf{v}})可分成在沿着径向上分量(v∥∥-->{\displaystyle\mathrm{v}_{\parallel}},-径向分量垂直及垂直于径向的分量(v⊥⊥-->{\displaystyle\mathrm{v}_{\perp}}-切线方向分量)。由于粒子在径向上的运动并不会造成相对于原点(O)的转动,在求取该粒子的角速度时,可以忽略水平(径向)分量。因此,转动完全是由切线方向的运动所造成的(如同质点在绕着等速率圆周运动),即角速度是完全由垂直(切线方向)的分量所决定的。质点角度位置的改变率与其切线方向速度的关系式如下:定...
· 加速度
简述简单地说,速度描述了位置是如何变化的,而加速度描述了速度是如何变化的。比如,水平地向前扔出一个物体,起初它的速度朝向正前,然而由于引力它开始在向前的同时向下坠落,即其速度改变了。这里改变物体速度的主要是地球的引力引起的重力加速度。加速度具有矢量性质,即需要用大小和方向同时描述一个加速度。在光滑水平面上向前运动的物体,如果向左或向右施以力,即给予了不同的加速度,则其速度会发生变化(包含了速率及方向),然而向左的加速度和向右的加速度显然引起了不同的效果。同样,施力的大小不同,引起的加速度不同,最终的结果也不一样,亦可以从矢量的加成性来看。作为一个矢量,加速度的叠加和分解分别遵循平行四边形法则和三角形法则。具体而言,加速度描述的是速度随时间的变化率。需要注意的是,由于速度也是矢量,因此加速度不为零的物体速度的大小(称之为速率)也不一定会发生变化,实际上,如果加速度保持与速度垂直,速度大小就一...
· 相速度
物质波相速度量子力学中,粒子也具有波的行为,并带有复数相位。透过德布罗意假说,我们可以得到:运用相对论中能量与动量的关系式:其中Ek{\displaystyleE_{k}}是粒子总能(运动学观点上,即静质能加上动能),p是粒子动量,γγ-->{\displaystyle\gamma洛伦兹因子兹因子,c是光速,以及ββ-->{\displaystyle\beta}是速度与c的比值。变数v可以是粒子速度或相应的物质波群速度。细节请参阅群速度条目。既然根据狭义相对论,带质量粒子的速度v<c{\displaystylev必然成立,因此相速度永远大于c,即:并且可以看到当粒子速度在相对论性范围,相速度趋近于c。超光速的相速度并不违反狭义相对论,因其并不带有任何信息的传递。细节请参阅讯号速度条目。与群速度相异群速度与相速度群速度迥异于“相速度”的概念是首先由哈密顿于1839年提出,这...
· 视向速度
参见系外行星自行

关于我们

关注族谱网 微信公众号,每日及时查看相关推荐,订阅互动等。

APP下载

下载族谱APP 微信公众号,每日及时查看
扫一扫添加客服微信