指数分布描述

概率密度函数

一个指数分布的概率密度函数是：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量 X 呈指数分布，则可以写作： X ~ Exponential（λ）。

累积分布函数

累积分布函数可以写成：

记号

若随机变量 X {\displaystyle X} 服从参数为 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 的指数分布，则记为 X ∼ ∼ --> E x p ( λ λ --> ) {\displaystyle X\sim Exp(\lambda )} .

特性

均值和方差

随机变量 X ( X 的率参数是λ) 的期望值是：

比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

X 的偏离系数是： V [X] = 1

无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（ Memoryless Property，又称遗失记忆性 ）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 e − − --> λ λ --> t ( λ λ --> t ) 1 1 ! = e − − --> λ λ --> t λ λ --> t {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t} , 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于 1 − − --> e − − --> λ λ --> t {\displaystyle 1-e^{-\lambda t}} 。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

第一四分位数： ln ⁡ ⁡ --> ( 4 / 3 ) / λ λ --> {\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,}

中位数： ln ⁡ ⁡ --> ( 2 ) / λ λ --> {\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}

第三四分位数： ln ⁡ ⁡ --> ( 4 ) / λ λ --> {\displaystyle \ln(4)/\lambda \,}

参数估计

最大似然法

给定独立同分布样本 x = ( x 1 , ..., x n )，λ的似然函数（Likelihood function）是：

其中：

似然函数对数的导数是：

率参数的最大似然（Maximum likelihood）估计值是：

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