定义

Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的线性微分算子L{\displaystyle L}

Lu=∑ ∑ -->|α α -->|≤ ≤ -->maα α -->∂ ∂ -->α α -->u{\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}

被称为椭圆算子，如果对任意x∈ ∈ -->Ω Ω -->{\displaystyle x\in \Omega }，任意非零ξ ξ -->∈ ∈ -->Rn{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}满足

∑ ∑ -->|α α -->|=maα α -->ξ ξ -->α α -->≠ ≠ -->0{\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}。

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够，当m=2k{\displaystyle m=2k}时可用一致椭圆条件代替它： (− − -->1)k∑ ∑ -->|α α -->|=2kaα α -->(x)ξ ξ -->α α -->>C|ξ ξ -->|2k,{\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},} 其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

L(u)=F(x,u,(∂ ∂ -->α α -->u))|α α -->|≤ ≤ -->2k{\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}

是椭圆算子如果它关于u{\displaystyle u}的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

实例：二阶算子

为了说明问题，我们选取二阶偏微分算子形式，

其中Dk=1− − -->1∂ ∂ -->xk{\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}.如果满足高阶项系数矩阵x

为正定实系数对称矩阵，则这样的算子叫做椭圆算子。

参看

抛物偏微分方程

外尔引理

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