介绍

ZFC构成自一个单一的基本本体论概念集合，和一个单一的本体论假定，就是在论域中所有的个体（就是所有数学对象）都是集合。有一个单一的基本二元关系集合成员关系；集合a是集合b的成员写为a∈ ∈ -->{\displaystyle \in }b（通常读做"a是b的元素"）。ZFC是一阶理论，所以ZFC包括后台逻辑是一阶公理的公理。这些公理支配了集合的行为和交互。ZFC是标准形式的公理化集合论。使用ZFC的大量的正在进行中的普通数学推导请参见Metamath在线计划。

在1908年，恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论，策梅洛集合论。这个公理化理论不允许构造序数；而多数“普通数学”不使用序数就不能被开发，序数在多数集合论研究中是根本工具。此外，Zermelo的一个公理涉及“明确性”性质的概念，它的操作性意义是有歧义的。在1922年，亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel）和陶拉尔夫·斯科伦（英语：Thoralf Skolem）独立的提议了定义“明确性”性质为可以在一阶逻辑中公式化的任何性质，从他们的工作促成了替代公理。Zermelo集合论接受替代公理和正规公理，产生了被称呼为ZF的这个集合论。

向ZF增加选择公理产生了ZFC。在数学成果要求选择公理的时候，有时明显的这么声明。这么单提出AC的原因是AC天生的，是非构造性的；它确立一个集合（选择集合）的存在，而不规定如何构造这个集合。所以使用AC证明的结果涉及尽管可以证明其存在（如果你不忠于构造主义本体论的话），但可能永远都不能构造出来的集合。

ZFC有无穷多个公理，因为替代公理实际上是公理模式。已知ZFC和ZF集合论二者都不能用有限数目个公理来公式化，这最先由Richard Montague证实。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以有限的公理化。NBG的本体论同集合一样包括类；类是有成员但不是其他类的成员的实体。NBG和ZFC是等价的集合论，在关于集合（就是说不以任何方式提及类）的任何定理在一个理论中可以证明，就可以在另一个理论中证明。

依据哥德尔第二不完备定理，ZFC的相容性不能在ZFC自身之内证明。ZFC的广延等同于普通数学，所以ZFC的相容性不能在普通数学中证明。ZFC的相容性可从弱不可及基数的存在而得出，它是其存在不能在ZFC中证明的某种东西。但是几乎没有人怀疑ZFC有什么未被发觉的矛盾；如果ZFC是不自洽的，早就该被发掘出来。这是确定无疑的：ZFC免除了朴素集合论的三大悖论，罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

文献中讨论过的ZFC的缺陷包括：

它比几乎所有普通数学所要求的程度还要强（Saunders MacLane和Solomon Feferman这么认为）；

相对于其他集合论的公理化，ZFC相对要弱。例如，它不允许全集（如新基础）或类（如NBG）的存在；

Saunders MacLane（范畴论的缔造者之一）和其他人争论说任何公理化集合论对于实际上的数学工作方式而言都是不正当的。依据他的观点，数学不是关于抽象对象的搜集和它们的性质的学科，而是关于结构和结构保持的映射的学科。

公理

ZFC的公理有许多等价的公式。下列的公理集合是由丘嫩于1980年提出的。公理本身以一阶逻辑来叙述，之中的句子只是用来增加对逻辑描述的直觉概念。

1.外延公理

Axiom of extensionality

两个集合相等，若它们有相同的元素。

这个公理的逆叙述可以由等式的代替性中得到。若背景逻辑不包含等式“=”，x=y可以定义为如下公式的缩写

如此一来，外延公理可写成：

若x和y有相同的元素，则它们属于同一个集合

2.正规公理

Axiom of regularity / Axiom of foundation

每个非空集合x都包含一个成员y，使得x和y不相交。

3.分类公理

设z为一个集合，且ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}为任一个描述z内元素x的特征的性质，则存在z的子集y，包含z内满足这个性质的x。这个“限制”可用来避免罗素悖论之类的悖论。更形式化地说，令ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}为ZFC语言中的任一公式，具有x,z,w1,… … -->,wn{\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,自由{n}\!}等自由变数（即y在ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}内不是自由的），则

这个公理是Z的一部分，但在ZF中就显得多余，因为它可以由替代公理和空集公理中导出。

由分类公理构成的集合通常使用集合建构式符号来标记。给定一集合z和具有一自由变数x的公式ϕ ϕ -->(x){\displaystyle \phi (x)\!}，则由所有在z内，满足ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}的x所组成的集合，标记为

分类公理可以用来证明空集（标记为∅ ∅ -->{\displaystyle \varnothing }）的存在，只要至少已存在一个集合。通常的方法是找一个所有集合都没有的性质。例如，设w是一个已存在的集合，而空集可定义为

若背景逻辑包含等式，也可定义空集为

因此，空集公理可由此处的九个公理中导出。外延公理还可证明空集是唯一的（不依赖w）。通常会以定义性扩展，将符号∅ ∅ -->{\displaystyle \varnothing }加至ZFC语言中。

4.配对公理

Axiom of pairing

若x和y是集合，则存在一个集合包含x　和y。

这个公理是Z的一部分，但在ZF中就显得多余，因为它可以由将替代公理应用至任意有两个成员的集合上导出。此类集合的存在性可由将无穷公理或幂集公理应用两次至空集上得到。

5.联集公理

Axiom of union

对任一个集合F{\displaystyle {\mathcal {F}}}，总存在一个集合A，包含每个为F{\displaystyle {\mathcal {F}}}。的某个成员的成员的集合。

6.替代公理

Axiom schema of replacement

令ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}是ZFC语言内的任意公式，其自由变数有x,y,A,w1,… … -->,wn{\displaystyle x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}，但B在ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \!}　则不是自由的。则：

较不形式地说，这个公理叙述：若一个可定义的函数f的定义域为一集合，且对定义域的任一x，f(x)也都是集合，则f的值域会是一个集合的子集。这个限制被需要用来避免一些悖论。

7.无穷公理

Axiom of infinity

令S(x){\displaystyle S(x)\!}为x∪ ∪ -->{x}{\displaystyle x\cup \{x\}\!}，其中x{\displaystyle x\!}为某个集合，则存在一个集合X，使得空集∅ ∅ -->{\displaystyle \varnothing }为X的成员，且当一个集合y为X的成员时，S(y){\displaystyle S(y)\!}也会是X的成员。

较口语地说，存在一个有无限多成员的集合X。满足无穷公理的最小集合X为冯诺伊曼序数ω，这个序数也可想成是自然数的集合N{\displaystyle \mathbb {N} }。

8.幂集公理

Axiom of power set

令z⊆ ⊆ -->x{\displaystyle z\subseteq x}为∀ ∀ -->q(q∈ ∈ -->z⇒ ⇒ -->q∈ ∈ -->x){\displaystyle \forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)}。对任一个集合x，皆存在一个集合y，为x的幂集的父集。x　的幂集为一个其成员为所有x的子集的类。

9.良序定理

Well-ordering theorem

对任一集合X，总存在一个可良好排序X的二元关系R。这意指著，R是X上的全序关系，且X内每个非空子集在R下都有一个最小元素。

若给定前八个公理，就可以找到许多个和第九个公理等价的叙述，最著名的则为选择公理，其叙述如下：令X为一非空集合，则存在一从X映射至X内成员的联集的函数（称为“选择函数”），可使得对所有的Y ∈ X都会有f(Y) ∈ Y。因为当X为有限集合时，选择函数的存在性很容易由前八个公理中证出，所以选择公理只在无限集合中有意义。选择公理被认为是非结构的，因为它只声明一个选择集合的存在，但完全不讲这个选择集合是如何被“建构”出来的。

参见

康托尔定理

公理化集合论

策梅洛集合论

罗素公理体系

新基础集合论

ZFC系统无法确定的命题列表 -en:List of statements undecidable in ZFC

文献

Abian, Alexander, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.

Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.

Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.

Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

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