陈述

首先定义几个概念：

集族 ：指由非空集合组成的集合。

选择函数 ：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族 X 中的集合 s ， f ( s )是 s 的一个元素。

那么，选择公理表示：

上述可表示为：

或者：

该定理也可表达为：

变体

第二个版本的选择公理声称：

第三个版本声称：

使用这个版本的作者通常谈及“在 A 上的选择函数”，但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是 A 的幂集（减去空集），因此对任何集合 A 有意义；至于本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义，选择公理也可以简洁的陈述为

它等价于

而选择公理的否定表达为：

术语（AC，ZF，ZFC）

以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写：

AC： 选择公理。

ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。

ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。

使用

直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合 X 之后，当时的数学家可能会直接说"设对于 X 中所有 s 有 F(s) 是 s 的成员之一"。一般来说，要是不用选择公理，是不可能证明 F 的存在性的。这一点直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。

不是所有的情况都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是，对于有限集合 X ，选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下，它等价于说我们有多个（有限数目的）盒子，每个包含至少一个物体，则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。显然我们可以这么做：从第一个盒子开始，选择其中的一个物体；到下一个盒子，选择一个物体；如此类推。因为盒子数量有限，所以我们的选择过程最后一定会结丛。这里给出的选择函数是明确的：第一个盒子对应于第一个选择的物体，第二个盒子对应于第二个选择物体；如此类推——此法之所以可行，是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。

例子

对于特定的无限集合 X ，也可以避免使用选择公理。例如，假设 X 的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元，所以要指定我们的选择函数，我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素，以及写出一个明确的表达式，说明我们的选择函数如何取值。在能够指定一个明确选择方式的时候，选择公理都是没有必要的。

当缺乏从每个集合得到元素的直观选择方式时，困难就出现了。如果我们不能做明确的选择，我们如何知道我们的这个集合存在？例如，假设 X 是实数的所有非空子集的集合。首先我们也许想套用有限的情况去处理 X 。如果我们尝试从每个集合选择一个元素，那么，因为实数集合是无限不可数，我们的选择过程永远不会结丛。亦因如此，我们永远不能生成对 X 的成员的选择函数。所以这种方法不能奏效。其次我们可以尝试给每个集合指定最小元素这种方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如，开区间(0,1) 没有最小元素：如果 x 在 (0,1) 中，则 x /2也在其中，而 x /2总是严格的小于 x 。所以这种方法也不行。

我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素，是因为自然数上有一个自然良序：所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。

因此，我们可以采取这样的思路，“即使实数的正常排序并非良序，也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下，总能够选择实数非空子集的最小元素。这样便得到了选择函数”。问题就变成如何构造这样的排序。而事实上，“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”这一命题成立，当且仅当选择公理为真。

有必要用到选择公理的证明总是非构造性的：即使证明给出了一个对象，精确地说出那个对象却是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义，则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如，构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的；构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理，因为它断言了不能具体描述是什么的对象的存在。

构造性数学

像上面讨论的那样，在ZFC中，选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而，ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域，选择公理仍被深入研究，而当中应用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中，选择公理的状况也有所差别。

在直觉类型论和高阶的Heyting算术中，选择公理的适当陈述（按照推导方式）可以是作为一个公理，又或者作为一个可证明的定理 。 埃里特‧毕夏普 （ 英语 ： Errett Bishop ） 认为选择公理可被视作是构造性的 ：

但在 构造性集合论 （ 英语 ： Constructive set theory ） 中，迪亚科内斯库定理表明选择公理蕴涵了排中律（在直觉类型论中，选择公理不蕴涵排中律）。因此选择公理在构造性集合论中并非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在构造性集合论中的选择公理的区别是，前者不具有外延性而后者具有 。

一些构造性集合论的结果用到了可数选择公理或相依选择公理，这两个公理在构造性集合论内并不蕴涵排中律。尽管可数选择公理在构造性数学中的应用特别广泛，它的使用也受到质疑 。

强形式公理

可构造性公理与连续统假设都蕴涵了选择公理，更准确地说，两者都严格强于选择公理 。在类理论中，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论，存在一个叫全局选择公理的公理，它比选择公理要强，因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。

结论

哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。

参考文献

来源

Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65 : (1908) pp. 261-81.PDF download via digizeitschriften.de

Gregory H Moore, "Zermelo"s axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 978-0-387-90670-6

Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

参见

集合论

佐恩引理

良序定理

吉洪诺夫定理

策梅洛-弗兰克尔集合论

冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

全局选择公理

可数选择公理

连续统假设

排中律

直觉类型论

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