历史

力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。

定义

用右手定则决定力矩方向

力矩 等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加于离支点2米处，所产生的力矩，等于1牛顿的作用力，施加于离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个矢量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向 。

假设作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加于位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。选择原点（以红点表示）为参考点，只有垂直分量 F ⊥ ⊥ --> {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 会产生力矩。这力矩 τ τ --> = r × × --> F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 的大小为 τ τ --> = | r | | F ⊥ ⊥ --> | = | r | | F | sin ⁡ ⁡ --> θ θ --> {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ，方向为垂直于屏幕向外。

更一般地，如图右，假设作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加于位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。选择原点为参考点，力矩 τ τ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以方程定义为

力矩大小为

其中， θ θ --> {\displaystyle \theta \,\!} 是两个矢量 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 与 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 之间的夹角。

力矩大小也可以表示为

其中， F ⊥ ⊥ --> {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 对于 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的垂直分量。

任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。

从叉积的性质，可推论，力矩垂直于位置矢量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 和作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。

力矩与角动量之间的关系

地心引力 F g {\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!} 的力矩造成角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 的改变。因此，陀螺呈现进动现象。

假设一个粒子的位置为 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ，动量为 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 。选择原点为参考点，此粒子的角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 为

粒子的角动量对于时间的导数为

其中， m {\displaystyle m\,\!} 是质量， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是速度， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是加速度。

应用牛顿第二定律， F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ，可以得到

按照力矩的定义， τ τ --> = d e f r × × --> F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} ，所以，

作用于一物体的力矩，决定了此物体的角动量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 对于时间 t {\displaystyle t\,\!} 的导数。

假设几个力矩共同作用于物体，则这几个力矩的合力矩 τ τ --> n e t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!} 共同决定角动量的对于时间的变化：

关于物体的绕着固定轴的旋转运动，

其中， I {\displaystyle I\,\!} 是物体对于固定轴的转动惯量， ω ω --> {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 是物体的角速度。

所以，取上述方程对时间的导数：

其中， α α --> {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 是物体的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米 （Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（ Bureau International des Poids et Mesures ）规定这次序应是牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米，而不是米 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 牛顿 。

根据国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的矢量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 米的力矩，作用1 全转，需要恰巧 2 π π --> {\displaystyle 2\pi \,\!} 焦耳的能量：

其中， E {\displaystyle E\,\!} 是能量， θ θ --> {\displaystyle \theta \,\!} 是移动的角度，弧度是弧度。

根据英制，力矩的单位是英尺 ⋅ ⋅ --> {\displaystyle \cdot } 磅。

矩臂方程

矩臂图

在物理学外，其他的学术界里，力矩时常会如以下定义：

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} （force）。这个定义并没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

这里， F x , F y {\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之间的关系

假设施加作用力于一物体，使得此物体移动一段距离，则作用力对于此物体做了机械功。类似地，假设施加力矩于一物体，使得此物体旋转一段角位移，则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动，以数学方程表达，

其中， W {\displaystyle W\,\!} 是机械功， θ θ --> 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 、 θ θ --> 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} 分别是初始角和终结角， d θ θ --> {\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!} 是无穷小角位移元素。

根据功能定理， W {\displaystyle W\,\!} 也代表物体的旋转动能 K r o t {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!} 的改变，以方程表达，

功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动，功率 P {\displaystyle P\,\!} 以方程表达为

请注意，力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关，而角速度是否在增加中，或在减小中，或保持不变，功率都与这些状况无关。

实际上，在与大型输电网络相连接的发电厂里，可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定，而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。

在计算功率时，必须使用一致的单位。采用国际单位制，功率的单位是瓦特，力矩的单位是牛顿-米，角速度的单位是每秒弧度（不是每分钟转速rpm，也不是每秒钟转速）。

力矩原理

力矩原理 阐明，几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和，等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名 伐里农定理 ( Varignon"s theorem ) ，以方程表达，

参阅

马力

扭力转换器

刚体动力学

机械平衡（ mechanical equilibrium ）

扭矩扳手（ torque wrench ）

参考文献

Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4.

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