历史现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W.Hurewicz（英语：WitoldHurewicz）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼和查德称其为“Z变换”。E.I.Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换（英语：AdvancedZ-transform）。Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。定义像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。双边Z变换双边Z变换把离散时域信号x[n]转为形式幂级数X(Z)。当中n{\displaystylen}是整数，z{\displaystylez}是复数变量，其表示方式为其中A为z的模，j为虚数单位，而ɸ为幅角（也叫相位角）...

参考文献Galambos,Janos;Simonelli,Italo.Productsofrandomvariables:applicationstoproblemsofphysicsandtoarithmeticalfunctions.MarcelDekker,Inc.2004.ISBN0-8247-5402-6.

定义点变换（pointtransformation）将广义坐标q=(q1,q2,……-->,qN){\displaystyle\mathbf{q}=(q_{1},\q_{2},\\dots,\q_{N})}变换成广义坐标Q=(Q1,Q2,……-->,QN){\displaystyle\mathbf{Q}=(Q_{1},\Q_{2},\\dots,\Q_{N})}，点变换方程的形式为其中，t{\displaystylet}是时间。在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量p=(p1,p2,……-->,pN){\displaystyle\mathbf{p}=(p_{1},\p_{2},\\dots,\p_{N})}同样地都是自变量（independentvariable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程成为其中，P=(P1,P2,……-->,PN){\displays...

应用任意线性变换都可以用矩阵表示为易于计算的一致形式，并且多个变换也可以很容易地通过矩阵的相乘连接在一起。线性变换不是唯一可以用矩阵表示的变换。R维的仿射变换与透视投影都可以用齐次坐标表示为RP维（即n+1维的真实投影空间）的线性变换。因此，在三维计算机图形学中大量使用着4x4的矩阵变换。寻找变换矩阵如果已经有一个函数型的线性变换T(x){\displaystyleT(x)}，那么通过T对标准基每个向量进行简单变换，然后将结果插入矩阵的列中，这样很容易就可以确定变换矩阵A，即例如，函数T(x)=5x{\displaystyleT(x)=5x}是线性变换，通过上面的过程得到（假设n=2）在二维图形中的应用示例最为常用的几何变换都是线性变换，这包括旋转、缩放、切变、反射以及正投影。在二维空间中，线性变换可以用2×2的变换矩阵表示。旋转绕原点逆时针旋转θ度角的变换公式是x′=xcos⁡⁡-->θ...

数学定义一个在两个仿射空间之间的仿射变换，是在向量上呈现线性之坐标点的变换（即为空间中点与点之间的向量）。以符号表示的话，f{\displaystylef}"使得φφ-->{\displaystyle\varphi}，决定任一对点的线性变换：P,Q∈∈-->A{\displaystyleP,Q\in{\mathcal{A}}}:或者f(Q)−−-->f(P)=φφ-->(Q−−-->P){\displaystylef(Q)-f(P)=\varphi(Q-P)}.其他定义.我们可以将此定义继续延伸：假设选定一原点,O∈∈-->A{\displaystyleO\in{\mathcal{A}}}且B{\displaystyleB}表示其图像f(O)∈∈-->B{\displaystylef(O)\in{\mathcal{B}}},如此即代表对任...