帕塞瓦尔定理的陈述

在一般的欧氏平面几何中，勾股定理说明直角三角形的两个直角边之长度的平方加起来等于斜边的平方。从另一种角度来看，若在平面上定义了一个直角坐标系xOy（单位向量分别是(ex,ey){\displaystyle (e_{x},e_{y})}），那么一个向量和它在这两个坐标轴方向上的投影构成一个直角三角形，因此，向量的长度的平方等于它在两个坐标轴方向上的投影的长度的平方之和。

对于一个有限维的欧几里得空间Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 以及其中的标准规范正交基(e1,e2,⋯ ⋯ -->,en){\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}，空间中的一个向量v=(v1,v2,⋯ ⋯ -->,vn){\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{长度)} 的长度的平方等于它在各个基向量上的投影的长度的平方之和：

在一般的希尔伯特空间之中，也有类似的等式。设H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 是一个装备了内积：⟨⋅ ⋅ -->,⋅ ⋅ -->⟩{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle } 的希尔伯特空间。考虑H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的一组规范正交基：(e1,e2,⋯ ⋯ -->,en,⋯ ⋯ -->){\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots )}，那么H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的每一个向量的范数的平方都等于它在各个基向量上的投影的平方之和。

假定A(x)和B(x)都是平方可积的（参照勒贝格测度）复变函数，且定义在R上周期为2π的区间上，分别写成傅里叶级数的形式:

和

然后

这里的i是虚数单位而上划线（horizontal bars）表示复共轭运算。

More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval"s theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.

物理学和工程学上使用的记号

在物理学和工程学中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:

其中X(f)=F{x(t)}{\displaystyle X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}} 为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）

帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。

对于离散时间信号，该理论表达式变换为：

其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。

此外，对于离散傅立叶变换(DFT)，表达式变换为：

其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。

参见

帕塞瓦尔恒等式

Plancherel"s theorem

Parseval–Gutzmer formula

参考链接

傅立叶级数,单维彰

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。