无处稠密集
定义
拓扑空间(X,τ),A⊆X,称A是 无处稠密的 (亦称 稀疏的 ,或称A为 无处稠密集 、 稀疏集 ),当且仅当A的闭包的内部是空集。
例子
例如,整数在实数轴 R 上就形成了一个无处稠密集。
注意运算的次序是很重要的。例如,有理数的集合,由于是 R 的子集,因此它的内部的闭包(注意不是“闭包的内部”)是空集,但不是无处稠密集;实际上,它在 R 上是稠密的,正好相反。
无处稠密与周围的空间也有关:有可能把一个集合考虑为 X 的子空间时就是无处稠密的,但考虑为 Y 的子空间时,就不是无处稠密的。显然,一个集合在它本身中总是稠密的。
开集和闭集
一个无处稠密集不一定是闭集(例如,集合 { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , … … --> } {\displaystyle \{1,1/2,1/3,\dots \}} 在实数集上是无处稠密集),但一定是包含在一个无处稠密的闭集(即它的闭包)内。确实,一个集合是无处稠密集,当且仅当它的闭包是无处稠密集。
无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集,因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。
测度为正数的无处稠密集
一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如,如果 X 位于单位区间[0,1],不仅有可能有勒贝格测度为零的稠密集(例如有理数集),也有可能有测度为正数的无处稠密集。
例如(一个康托尔集的变体),从[0,1]内移除所有形为 a /2 的最简二进分数,以及旁边的区间[ a /2 − 1/2 , a /2 + 1/2 ];由于对于每一个 n ,这最多移除了总和为1/2 的区间,留下的无处稠密集的测度就至少是1/2(实际上刚刚大于0.535……,因为重叠的原因),因此在某种意义上表示了[0,1]的大多数空间。
把这个方法进行推广,我们可以在单位区间内构造出任意测度小于1的无处稠密集。
参见
贝尔空间
史密斯-沃尔泰拉-康托尔集
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