定理

设f(z)=∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0anzn{\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z0{\displaystyle z_{0}}，级数∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0anz0n{\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}收敛，则有: limt→ → -->1− − -->f(tz0)=∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0anz0n{\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}。

若∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0anRn{\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}R^{n}}收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

证明

设级数∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0anz0n{\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}收敛，下面证明：

令bn=anz0n{\displaystyle b_{n}=a_{n}z_{0}^{n}}，则幂级数∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0bnzn{\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}z^{n}} 的收敛半径为1，并且只需证明

令b0′ ′ -->=b0− − -->∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0bn{\displaystyle b_{0}^{\prime }=b_{0}-\sum _{n\geq 0}b_{n}}，则可化归到∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0bn=0{\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0}，于是以下只需要考虑∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0bn=0{\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0} 的情况。

设Sn=∑ ∑ -->k=0nbn{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{n}}，那么limn→ → -->+∞ ∞ -->Sn=0{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}=0}。由幂级数性质可知∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0Snzn{\displaystyle \sum _{n\geq 0}S_{n}z^{n}} 的收敛半径也是1。于是

对于任意的ϵ ϵ -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，固定N0{\displaystyle N_{0}} 使得

再固定δ δ -->{\displaystyle \delta }使得

于是对∀ ∀ -->0≤ ≤ -->t≤ ≤ -->δ δ -->{\displaystyle \forall 0\leq t\leq \delta }，

这就证明了

于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数α α -->{\displaystyle \alpha }，设区域：

那么只要t{\displaystyle t} 在Dα α -->{\displaystyle D_{\alpha }}趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

例子和应用

阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上xn{\displaystyle x^{n}}项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

为计算收敛级数∑ ∑ -->n≥ ≥ -->1(− − -->1)n+1n{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}，设f(x)=∑ ∑ -->n≥ ≥ -->1(− − -->1)n+1xnn=log⁡ ⁡ -->(1+x){\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x)}。于是有∑ ∑ -->n≥ ≥ -->1(− − -->1)n+1n=limx→ → -->1− − -->f(x)=log⁡ ⁡ -->2{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2}

为计算收敛级数∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0(− − -->1)n2n+1{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}，设g(x)=∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0(− − -->1)nx2n+12n+1=arctan⁡ ⁡ -->(x){\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)}。因此有limx→ → -->1− − -->g(x)=arctan⁡ ⁡ -->(1)=π π -->4=∑ ∑ -->n≥ ≥ -->0(− − -->1)n2n+1{\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}

参考来源

（法文）Srishti.D.Chatterji. Cours d"Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997. 

（法文）Alekseev. Theorème D"Abel: Un Cours D"Arnold. Cassini. 2007. 

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