闭集等价的定义

在拓扑空间内，一个集合是闭集当且仅当它与它的闭包相同。等价地，一个集合是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点。

不要混淆于闭流形。

性质

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间 X {\displaystyle X} 上的集合 A {\displaystyle A} 的闭包，即 X {\displaystyle X} 的闭合子集中最小的 A {\displaystyle A} 的父集。特别的， A {\displaystyle A} 的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子

区间[ a , b ]在实数上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见区间文中的解释。）

单位区间[0,1]在实数的度量空间中是闭集。而集 [ 0 , 1 ] ∩ ∩ --> Q {\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }有理数有理数上是闭集，但在实数上并不是闭集。

有些集合既不是开集也不是闭集，如实数上的半开区间 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} 。

有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集。

半区间[1, +∞)是闭集。

康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。

辛格尔顿（Singleton）点（则为有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。

如果 X 和 Y 是拓扑空间，当且仅当 Y 中闭集的原像在 X 中也是闭集，从 X 到 Y 的函数 f 才是连续的。

细说

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 X {\displaystyle X} 上的子集 A {\displaystyle A} 是 闭合的 ，当且仅当 A {\displaystyle A} 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 A {\displaystyle A} 。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间 X {\displaystyle X} ，因为序列是否在 X {\displaystyle X} 中收敛依赖于 X {\displaystyle X} 中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间 K {\displaystyle K} 放在任意豪斯多夫空间 X {\displaystyle X} 中， K {\displaystyle K} 总是 X {\displaystyle X} 的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见

开集

闭开集

闭包

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